質問（対数微分）『1週間でツボがわかる！　大人の「高校数学」』

質問（対数微分）

●　ケインズ　●

　沖縄市在　の照屋吉一　様から質問のメールを頂きました。
　　

経済学を学んでいたら

「いま、小麦の価値を貨幣単位で表すと、小麦価格ｘ小麦量になります。
この値の変化率を数学的に書くと、以下に示す対数微分と言われるもので与えられます。

（小麦価格ｘ小麦量）の微小単位時間あたり変化÷（小麦価格ｘ小麦量）
＝小麦価格の微小単位時間あたり変化÷小麦価格＋小麦量の微小単位時間あたり変化÷小麦量

右辺の第１項が小麦価格の変化率、第2項が小麦（実質）利子率です。」

の説明がでたのですが、
小林先生の「これ以上やさしくかけない微分積分」や「大人の高校数学」を読んだのですが
対数微分がわからず困っております。

対数微分とはどういうものでしょうか。
よろしくお願いいたします。

　さっそく返事をお送りしたら、この話は「ケインズの小麦利子率」だということです。

　ケインズですか～！

　さすがに聞いたことのある名前ですが、ではどんな人かと言われると・・・・・・！？

　で、さっそく本題（？）に入らせていただきます。

　じつは、「対数微分」は高校でも「数学Ⅲ」で扱うのです。

　その「数学Ⅲ」ですが、高校でも理系しかやらないのが普通です。

　そこで、ページ数の関係で入れなかったというのが実情です。

　照屋様にもお伝えしましたが、

理系だけでなく文系でも「対数微分」が必要な方が多ければ

きっと出版社も、そのような本の企画に意欲的になるだろうと思われます。

　では、お送りした返事を載せさせていただきます。

　とはいっても、ありふれた計算にすぎませんが・・・・・・。

　対数微分というのは、両辺の対数をとって、それを微分するというものです。
　その前に、基礎知識として

　ｙ＝logｆ（ｘ）　を微分すると　ｙ’＝ｆ’（ｘ）／ｆ（ｘ）　

となることを使います。これは公式として覚えるのが普通です。

時間　：　ｔ
価値　：　ｚ（ｔ）
価格　：　ｘ（ｔ）
量　　：　ｙ（ｔ）

とすると、小麦の価値を貨幣単位で表すと、小麦価格ｘ小麦量　ということは、
　ｚ（ｔ）＝　ｘ（ｔ）　×　ｙ（ｔ）

これの両辺の対数をとります。（ちなみに　ｚ（ｔ）、ｘ（ｔ）、ｙ（ｔ）は正です）
「大人の高校数学」にあったように、「真数のかけ算」は「対数のたし算」になります。

ｌｏｇｚ（ｔ）＝ｌｏｇ｛ｘ（ｔ）　×　ｙ（ｔ）｝　　・・・　「真数のかけ算」
ｌｏｇｚ（ｔ）＝ｌｏｇｘ（ｔ）　＋　ｌｏｇｙ（ｔ｝　　・・・　「対数のたし算」

ここで、両辺を微分します。このとき、先ほどの公式を用います。

　ｚ’（ｔ）／ｚ（ｔ）＝ｘ’（ｔ）／ｘ（ｔ）　＋　ｙ’（ｔ）／ｙ（ｔ）

左辺のｚ’（ｔ）／ｚ（ｔ）は、　ｚ（ｔ）＝　ｘ（ｔ）　×　ｙ（ｔ）　であることを考慮すれば

（小麦価格ｘ小麦量）の微小単位時間あたり変化÷（小麦価格ｘ小麦量）

に相当します。

右辺のｘ’（ｔ）／ｘ（ｔ）　＋　ｙ’（ｔ）／ｙ（ｔ）は

小麦価格の微小単位時間あたり変化÷小麦価格＋小麦量の微小単位時間あたり変化÷小麦量

に相当します。

それにしても、経済学で対数微分を扱うことを今回初めて知りました。

　照屋様、貴重な情報どうもありがとうございました。

HOME（もどる）