●　ふしぎな数１０８９　●

ピタゴラス数に続いて、寺田恵一さまからメールをいただきました。

今度は、ふしぎな数「１０８９」です。

これは、ハヤカワ文庫＜数理を愉しむ＞シリーズ『数学はインドのロープ魔術を解く』に

載せられていた話題だそうです。

まず、本に載っている話題は、こんなものです。

＜やってみよう！＞

ためしに、一度やってみましょう。

まず、３桁の数を思いうかべます。

　　　　　今度は、１３９としてみます。

次に、これを逆さにならべかえます。

　　　　　すると、９３１となります。

ここで、大きい方から小さい方を引きます。

　　　　　９３１−１３９＝７９２

さらに、この数を逆さにならべかえます。

　　　　　すると、２９７となります。

さあ、この２つの数をたすと、どうなるでしょう。

　　　　　７９２＋２９７＝１０８９

＜やってみよう！＞

なんなら、もう一度やってみましょう。

まず、３桁の数を思いうかべます。

　　　　　今度は、２４６としてみます。

次に、これを逆さにならべかえます。

　　　　　すると、６４２となります。

ここで、大きい方から小さい方を引きます。

　　　　　６４２−２４６＝３９６

さらに、この数を逆さにならべかえます。

　　　　　すると、６９３となります。

さあ、この２つの数をたすと、どうなるでしょう。

　　　　　３９６＋６９３＝１０８９

なんとなく、共通点が見えてきましたね。

もう一度、ならべて書いてみます。

　　　　　４９５＋５９４＝１０８９　　ちなみに、４＋５＝９，９＋９＝１８，５＋４＝９

　　　　　７９２＋２９７＝１０８９　　ちなみに、７＋２＝９，９＋９＝１８，２＋７＝９

　　　　　３９６＋６９３＝１０８９　　ちなみに、３＋６＝９，９＋９＝１８，６＋３＝９

ここで、９＋９＝１８　の繰り上がりを考えると、１０８９となるのです。

さて、このことを考える前に、３桁の数の１００の位と１の位の数字の差が、

１では本当にダメなのかどうかも見てみましょう。

＜やってみよう！＞

ためしに、やってみましょう。

まず、差が１の３桁の数を思いうかべます。

　　　　　今度は、１３２としてみます。

次に、これを逆さにならべかえます。

　　　　　すると、２３１となります。

ここで、大きい方から小さい方を引きます。

　　　　　２３１−１３２＝９９

おやおや、２桁になってしまいます。

これでは、話が変わってくるというものです。

●　証明？　●

さて、このマジックのタネを考えてみましょう。

といっても、ならべて書いたものを見ると、何をすべきか見当がつきます。

　　　　　４９５＋５９４＝１０８９　　ちなみに、４＋５＝９，９＋９＝１８，５＋４＝９

　　　　　７９２＋２９７＝１０８９　　ちなみに、７＋２＝９，９＋９＝１８，２＋７＝９

　　　　　３９６＋６９３＝１０８９　　ちなみに、３＋６＝９，９＋９＝１８，６＋３＝９

　　　　　ここで、９＋９＝１８　の繰り上がりを考えると、１０８９となる。

この前の、大きい方から小さい方を引いた結果の方が、問題なのです。

　　　　　７８２−２８７＝４９５　　　ちなみに、４＋５＝９

　　　　　９３１−１３９＝７９２　　　ちなみに、７＋２＝９

　　　　 ６４２−２４６＝３９６　　　ちなみに、３＋６＝９

結果は、いつだって１０の位が９、１００の位と１の位をたしたものが９になっています。

このマジックは、ここさえ示せればいいのです。

さあ、それでは、

　　どんな３桁の数でも、逆さにならべかえた数との差が（大きい方から小さい方を引く）

　　いつだって１０の位が９、１００の位と１の位をたしたものが９になる

といえるのでしょうか。

　こういうときは、なんといっても文字式で考えると便利です。

　どうせ、大きい方から小さい方をひくのですから、最初から

　　　　　「ａｂｃ」が、ならべかえた「ｃｂａ」より大きい

としましょう。

　　　　早い話が、ａの方がｃより大きいということです。

　　　　「ａｂｃ」は、１００ａ＋１０ｂ＋ｃ　です。

　　　　「ｃｂａ」は、１００ｃ＋１０ｂ＋ａ　です。

さあ、引いてみましょう。

　　　　（１００ａ＋１０ｂ＋ｃ）−（１００ｃ＋１０ｂ＋ａ）

　　　＝１００（ａ−ｃ）＋０＋（ｃ−ａ）

さあ、この数の１００の位、１０の位、１の位は何になるでしょうか。

小学校のときを思い出してください。

まず、「１００（ａ−ｃ）＋０＋（ｃ−ａ）」の１の位から見てみましょう。

ａの方がｃより大きいのですから、（ｃ−ａ）をするために１０の位から借りてきます。

そうすると、

　　　　　１の位は　１０＋ｃ−ａ

となります。

次に、「１００（ａ−ｃ）＋０＋（ｃ−ａ）」の１０の位を見てみます。

１０の位は　０　なので、１００の位から借りてきて、さっき貸した１を引くことになります。

ですから、

　　　　　１０の位は　９

となります。

最後に、「１００（ａ−ｃ）＋０＋（ｃ−ａ）」の１００の位を見てみます。

さっき、１貸したので、（ａ−ｃ）より１へります。

そうすると、

　　　　　１００の位は　ａ−ｃ−１

となります。

今までやった例でも、たしかにそうなっています。

　　　７８２　のとき　１００の位は７−２−１＝４，１の位は１０＋２−７＝５

　　　９３１　のとき　１００の位は９−１−１＝７，１の位は１０＋１−９＝２

　　　６４２　のとき　１００の位は６−２−１＝３，１の位は１０＋２−６＝６

　さて、１０の位が９の方は分かったので、

１００の位と１の位をたしたものが９になるかどうかを見てみます。

　　　　　１の位は　１０＋ｃ−ａ

　　　　　１００の位は　ａ−ｃ−１

これを、たすだけです。

　　　　　（１０＋ｃ−ａ）＋（ａ−ｃ−１）＝９

たしかに、いつだって　９　になります。

●　１０８９　●

さて、ここからが寺田恵一さまからいただいたメールです。

さあ、どうしてでしょうか。

じつは、これは９の段の九九がネタなのです。

さあ、９の段の九九の復習です。

　　　　９×１＝０９　　　ちなみに　１＋９＝１０　

　　　　９×２＝１８　　　ちなみに　２＋８＝１０　　

　　　　９×３＝２７　　　ちなみに　３＋７＝１０　

　　　　９×４＝３６　　　ちなみに　４＋６＝１０　

　　　　９×５＝４５　　　ちなみに　５＋５＝１０　

　　　　９×６＝５４　　　ちなみに　６＋４＝１０　　

　　　　９×７＝６３　　　ちなみに　７＋３＝１０　　

　　　　９×８＝７２　　　ちなみに　８＋２＝１０　　

　　　　９×９＝８１　　　ちなみに　９＋１＝１０　　

ちなみに、この理由はかんたんです。

たとえば、こんなふうになっています。

　　　　９×３＝（１０−１）×３＝３０−３＝２０＋１０−３＝２０＋７＝２７　

　　　ここで、３＋７＝３＋（１０−３）＝１０

このことを頭におくと、まず１０００の位と１の位は納得です。

　　　　　１０８９×１＝１０８９　　　＜−−−−−＞　１０８９×９＝９８０１

　　　　　１０８９×２＝２１７８　　　＜−−−−−＞　１０８９×８＝８７１２

　　　　　１０８９×３＝３２６７　　　＜−−−−−＞　１０８９×７＝７６２３

　　　　　１０８９×４＝４３５６　　　＜−−−−−＞　１０８９×６＝６５３４

　　　　　１０８９×５＝５４４５　　　＜−−−−−＞　１０８９×５＝５４４５

それでは、１００の位と１０の位はどうなっているのでしょう。

じつは、これも９の段の九九がネタなのです。

　　　　９×１＝０９　　　＜−−−＞　１０８９×１＝１０８９

　　　　９×２＝１８　　　＜−−−＞　１０８９×２＝２１７８　

　　　　９×３＝２７　　　＜−−−＞　１０８９×３＝３２６７　　

　　　　９×４＝３６　　　＜−−−＞　１０８９×４＝４３５６

　　　　９×５＝４５　　　＜−−−＞　１０８９×５＝５４４５

　　　　９×６＝５４　　　＜−−−＞　１０８９×６＝６５３４

　　　　９×７＝６３　　　＜−−−＞　１０８９×７＝７６２３

　　　　９×８＝７２　　　＜−−−＞　１０８９×８＝８７１２

　　　　９×９＝８１　　　＜−−−＞　１０８９×９＝９８０１　

そうですね。かけ算の九九より１だけ小さくなっています。

これは、たとえばこんなふうになっているからです。

　　　　１０８９×３＝３２６７　で　８９×３　を見てみます。

　　　　８９×３＝（９０−１）×３

　　　　　　　　 ＝２７０−３

　　　　　　　　 ＝２６０＋（１０−３）

　こんなわけで、９の段の九九より１へります。

　そうすると、９の段の九九から、１００の位と１０の位も納得です。

　　　　９×１＝０９　（０＋９＝９）　＜−−−＞　１０８９×１＝１０８９　（０＋８＝８）

　　　　９×２＝１８　（１＋８＝９）　＜−−−＞　１０８９×２＝２１７８　（１＋７＝８）

　　　　９×３＝２７　（２＋７＝９）　＜−−−＞　１０８９×３＝３２６７　（２＋６＝８）　　

　　　　９×４＝３６　（３＋６＝９）　＜−−−＞　１０８９×４＝４３５６　（３＋５＝８）

　　　　９×５＝４５　（４＋５＝９）　＜−−−＞　１０８９×５＝５４４５　（４＋４＝８）

　　　　９×６＝５４　（５＋４＝９）　＜−−−＞　１０８９×６＝６５３４　（５＋３＝８）

　　　　９×７＝６３　（６＋３＝９）　＜−−−＞　１０８９×７＝７６２３　（６＋２＝８）

　　　　９×８＝７２　（７＋２＝９）　＜−−−＞　１０８９×８＝８７１２　（７＋１＝８）

　　　　９×９＝８１　（８＋１＝９）　＜−−−＞　１０８９×９＝９８０１　（８＋０＝８）

●　１０９８９，１０９９８９　●

寺田恵一さまは、さらに続けました。

１０８９×２＝２１７８　＜−−−＞　１０９８９×２＝２１９７８　＜−−−＞　１０９９８９×２＝２１９９７８

９を追加すると、かけた結果にも、どんどん９が追加されます。

９ばかりならべば、数字が逆になっているかどうかは問題になりません。

さあ、９を追加すると、かけた結果にも、どんどん９が追加されるのはどうしてでしょうか。

まあ、９ですからね。どっちみち、９の段の九九です。

　１０８９×２＝２１７８　　　　１００８９×２＝２０１７８　　　　　１０００８９×２＝２００１７８
　　　　　　　　　　　　　　　＋） 　 ９００×２＝　１８００　　　　　　　　９００×２＝　　１８００
　　　　　　　　　　　　　　　　  １０９８９×２＝２１９７８　　　　＋）　９０００×２＝　１８０００
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１０９９８９×２＝２１９９７８

やっぱり、９の段の九九で　９×２＝１８　で　１＋８＝９　がきいていますね。

もうひとつ、やってみましょう。

１０８９×８＝８７１２　＜−−−＞　１０９８９×８＝８７９１２　＜−−−＞　１０９９８９×８＝８７９９１２

　１０８９×８＝８７１２　　　　１００８９×８＝８０７１２　　　　　１０００８９×８＝８００７１２
　　　　　　　　　　　　　　　＋） 　 ９００×８＝　７２００　　　　　　　　９００×８＝　　７２００
　　　　　　　　　　　　　　　　  １０９８９×８＝８７９１２　　　　＋）　９０００×８＝　７２０００
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１０９９８９×２＝８７９９１２

やっぱり、９の段の九九で　９×８＝７２　で　７＋２＝９　がきいていますね。

さあ、それでは他にもあるのでしょうか。

えっ、私ですか・・・？

私は、これから、たまりにたまった家事をしなければ・・・

それでは、みなさんに期待しています！

「果報は寝て待て」と言いますから・・・（私の好きな言葉です）

おっと、私は寝てなんかいませんよ。そうそう、家事をしなくちゃ・・・。

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