４次元
● 超立方体 ●
下の図を見てください。
あらっ、ステキなモザイクもよう！
もしかしたら、ダイヤモンドのカット図かしら・・・。
じつは、これは４次元の立方体（を平面にかいたもの）なのです。
（色をつけない方が、それらしく見えますよ。）
４次元の立方体は、
超立方体（ちょうりっぽうたい）とか正８胞体（ほうたい）と
いわれています。
でも、いきなりこんなものが４次元の立方体といわれても
・・・こまってしまいますね。
そこで、話をいったん０次元にもどしてから、
じゅんに次元を上げて、みていくことにしましょう。
● 次元 ●
４次元というと、なんとなくミステリアス。
まるで、ＳＦみたい・・・。
そんな気持ちにザバーッと水をぶっかけるような話に
ならないといいのですが・・・。
＜ ０次元 ＞
まずは、０次元です。
点です。
●
何もいうことはありません。
＜ １次元 ＞
次は、１次元です。
直線です。
１次元の立方体って・・・？
０次元の点を、スーッと（べつの次元に１だけ）もちあげると、
線分ができます。
これを、１次元の立方体（？）ということにしましょう。
＜ ２次元 ＞
次は、２次元です。
平面です。
２次元の立方体って・・・？
１次元の線分を、スーッと（べつの次元に１だけ）もちあげると、
正方形ができます。
これを、２次元の立方体（じつは正方形）ということにしましょう。
＜ ３次元 ＞
次は、３次元です。
空間です。
３次元の立方体って・・・？
２次元の正方形を、スーッと（べつの次元に１だけ）もちあげると、
立方体ができます。
これは、３次元の立方体（これが本当の立方体）です。
＜ ４次元 ＞
次は、いよいよ４次元です。
４次元空間です。
４次元の立方体って・・・？
３次元の立方体を、スーッと（べつの次元に１だけ）もちあげると、
（４次元なんて、どこにもちあげていいのやら・・・）
４次元の立方体（超立方体）ができるはずです。
これを、４次元の立方体、つまり超立方体ということにしましょう。
（色のつけ方ひとつで、ずいぶんとちがって見えるものですね。
ほかに、いくつ立方体が見えますか？
ちゃんと８個みえますか？
正８胞体っていうからには８個なくっちゃ〜ねっ！）
● 単体 ●
さて、なにごとでもそうですが、
いきなりむずかしいことをやっても、うまくいきません。
頂点や辺や面の個数をかぞえるのだってそうです。
まずは、もっとかんたんな場合からやってみましょう。
立方体より、もっと頂点や辺や面の個数が少ないもの・・・
そうです！
正方形でなくって・・・三角形！
立方体でなくって・・・四面体！
さあ、かぞえましょう！かぞえましょう！！
＜ ０次元 ＞
まずは、０次元です。
点です。
０次元では、正方形も三角形もあったものではありませんね。
|
|
頂点があらわれる。 | １ ｜ 頂 点 |
＜ １次元 ＞
次は、１次元です。
直線です。
１次元の三角形って・・・？
０次元の点をつまんで、（べつの次元に）もちあげると、
線分ができます。
１次元でも、やっぱり正方形とおなじです。
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新しい頂点が１つくわわり 頂点の個数は １＋１＝２ 辺があらわれる。 |
|
＜ ２次元 ＞
次は、２次元です。
平面です。
２次元の三角形って・・・ふつうの三角形ですよね。
１次元の線分をつまんで、ゴムひものように（べつの次元に）もちあげると、
三角形ができます。
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新しい頂点が１つくわわり 頂点の個数は ２＋１＝３ 辺の個数はもとの頂点とむすんだだけふえ 面があらわれる。 |
 |
＜ ３次元 ＞
次は、３次元です。
空間です。
３次元の三角形って・・・四面体ですよね。
２次元の三角形をつまんで、ゴムまくのように（べつの次元に）もちあげると、
四面体ができます。
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新しい頂点が１つくわわり 頂点の個数は ３＋１＝４ 辺の個数はもとの頂点とむすんだだけふえ 面はもとの辺の個数だけふえ 胞があらわれる。 |
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ちなみに胞（ほう）というのは、四面体のなかみ（？）です。
＜ ４次元 ＞
次は、いよいよ４次元です。
４次元空間です。
４次元の四面体って・・・？
３次元の四面体をつまんで、アメーバのように（べつの次元に）もちあげると、
４次元の超四面体（５胞体）ができるはずです。
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新しい頂点が１つくわわり 頂点の個数は ４＋１＝５ あとも同じように（？） 面の個数はもとの辺の個数だけふえ 胞の個数はもとの面の個数だけふえ ？があらわれる。 |
 |
この４次元の超四面体は、胞が５個なので５胞体とよばれています。
４次元であらわれる ？ は何とよばれているのかって？
（知っている人はメールください！）
まずこれで、（４次元の）５胞体の頂点・辺・面・胞の個数がわかりました。
じつは、３次元では正多面体があったように、
４次元では正多胞体というのがあります。
そのなかに、正５胞体というのがちゃんとありまして、
正５胞体 ・・・ 頂点（５個）、辺（１０個）、面（１０個）、胞（５個）
となっています。
● パスカルの三角形 ●
この表をみてください。
あら、どこかで見たような・・・
そうです！このホームページでも、一度やりましたね。
パスカルの三角形です。
そこでは、パスカルの三角形の数は
２項定理で出てくる数だよ・・・ってこともやりました。
こんなことでしたね。
（ａ＋ｂ）１ ＝ １ａ ＋ １ｂ
（ａ＋ｂ）２ ＝ １ａ２ ＋ ２ａｂ ＋ １ｂ２
（ａ＋ｂ）３ ＝ １ａ３ ＋ ３ａ２ｂ ＋ ３ａｂ２ ＋ １ｂ３
（ａ＋ｂ）４ ＝ １ａ４ ＋ ４ａ３ｂ ＋ ６ａ２ｂ２ ＋ ４ａｂ３ ＋ １ｂ４
（ａ＋ｂ）５ ＝ １ａ５ ＋ ５ａ４ｂ ＋ １０ａ３ｂ２ ＋ １０ａ２ｂ３ ＋ ５ａｂ４ ＋ １ｂ５
ここで、ａ＝ｂ＝１にすると、
２１ ＝ １＋１
２２ ＝ １＋２＋１
２３ ＝ １＋３＋３＋１
２４ ＝ １＋４＋６＋４＋１
２５ ＝ １＋５＋１０＋１０＋５＋１
のようになります。
これは、０次元、１次元、２次元、３次元、４次元の
三角形や四面体や超四面体のようなものの
頂点、辺、面、胞の個数と１と１をあわせると２の何乗かになるって式ですね。
でも、こんな式はぜんぜん有名ではありません。
どうして有名にならないかって？
三角形でなくって四角形にしたら・・・
四面体でなくって立方体にしたら・・・
頂点も辺も面も胞も、もっともっと多くなってしまうからです。
三角形や四面体だけの式なんて、有名になりっこありません。
ところがです。
２項定理で、ａ＝１、ｂ＝−１にするとどうでしょう。
０ ＝ １−１
０ ＝ １−２＋１
０ ＝ １−３＋３−１
０ ＝ １−４＋６−４＋１
０ ＝ １−５＋１０−１０＋５−１
これは、１次元、２次元、３次元、４次元の
三角形や四面体や超四面体のようなものの
頂点、辺、面、胞の数と１と１をたしたりひいたりすると０になるって式ですね。
こっちは有名です。
どうして有名になったかって？
これを、こんなふうに書きなおしてみるのです。
| ０次元 なら ０＝１−１ １次元 なら ０＝１−（頂点）＋１ ２次元 なら ０＝１−（頂点）＋（辺）−１ ３次元 なら ０＝１−（頂点）＋（辺）−（面）＋１ ４次元 なら ０＝１−（頂点）＋（辺）−（面）＋（胞）−１ |
さらに、この式をてきとうになおすと、次のようになります。
| ０次元 なら どれも同じで、何もいうことなし！ １次元 なら どれも同じで、（頂点）＝２ ２次元 なら （頂点）＝（辺） ３次元 なら （頂点）−（辺）＋（面）＝２ ４次元 なら （頂点）−（辺）＋（面）−（胞）＝０ |
さて、こっちの方は、どうして有名になれたかってことでしたね。
もちろん、それは
三角形でなくって四角形にしたら・・・
四面体でなくって立方体にしたら・・・
頂点も辺も面も胞も、もっともっと多くなってしまうけれど、
今度はひき算もあるから・・・
プラス・マイナス ０ となって、うまくいくからなんですね。
もちろん、「うきわ」のように「あな」があいているものはダメですよ。
さて、本当にプラス・マイナス ０ になるかというお話は、
（いつもながら）また今度ということにしましょう。
● オイラーの多面体定理 ●
有名なのは、とくに３次元の場合です。
（アインシュタインが何と言おうと、この世は３次元だから（？）
４次元の＜じく＞を時間にとるなんて・・・）
３次元 なら （頂点）−（辺）＋（面）＝２ でしたね。
これには、名前までついているのです。
発見者にちなんで、オイラーの多面体定理って言うのです。
さあ〜て、いよいよ前回の「正多面体」でやりのこしたことをやりましょう。
こんなことでした。
正１２面体で、１つの頂点のまわりに、
正５角形を３枚使って作っていったら何枚でできるか・・・
ということは、ちょっとおいておいて、
とりあえず１２枚でできたということから話をはじめてしまいました。
そこで今回は、何枚でできるかってところを考えるのです。
もちろん、このオイラーの多面体定理をつかってみるのです。
まず、正５角形の面の枚数を ｘ とします。
すると、頂点の個数は ５ｘ ではなくって、５ｘ/３ です。
また、辺の個数は ５ｘ ではなくって、５ｘ/２ です。
これを、 （頂点）−（辺）＋（面）＝２ に入れます。
５ｘ ５ｘ
---- − ---- ＋ ｘ ＝ ２
３ ２
１０ｘ − １５ｘ ＋ ６ｘ ＝ １２
ｘ ＝ １２
ということで、できるとしたら１２枚ってことで、
けっきょく、１２枚で作ってみるハメに・・・（？）
（あのペンタグラムは、いったい何だったの・・・）
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小林吹代
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