母関数
● ペンタグラム ●
ピタゴラス教団のシンボルマークは、
なんと下の図のようなペンタグラム（星形五角形）でした。
さて、このペンタグラムの頂点をむすんで、
どんどん正五角形をかいていくとどうなるでしょう。
おやおや、どこかでお目にかかった数がならんでいますね。
１α
１α＋１
２α＋１
３α＋２
５α＋３
８α＋５
そうです！フィボナッチ数です。
では、αは・・・？
もちろん（？）黄金数です。
じつは、正五角形の一辺と対角線の長さの比は、黄金比になっているのです。
さらには、αが黄金数ということは α２＝α＋１ ですから、
こんな式がなりたちます。
α α＋１ ２α＋１ ３α＋２ ５α＋３
---- ＝ -------- ＝ -------- ＝ -------- ＝ -------- ＝ ・・・
１ α α＋１ ２α＋１ ３α＋２
さあ、（このことからも）こんなことがわかりますね。
α＝１α
α２＝１α＋１
α３＝２α＋１
α４＝３α＋２
α５＝５α＋３
α６＝８α＋５
さて、黄金数αは α２＝α＋１ でしたが、
ｘ２＝ｘ＋１ つまり ｘ２−ｘ−１＝０
の解はもうひとつありました。それをβとしましたね。
１＋/５ １−/５
α＝-------- ， β＝ --------
２ ２
じつは、β２＝β＋１ から βについても同じようにして
こんなことがわかります。
β＝１β
β２＝１β＋１
β３＝２β＋１
β４＝３β＋２
β５＝５β＋３
β６＝８β＋５
これから、たとえば５番目のフィボナッチ数でしたら、こんなふうになります。
（すでに、やったことがありますね。）
α５＝５α＋３
−）β５＝５β＋３
α５−β５＝５（α−β）
α５−β５
---------- ＝ ５
α−β
ここで、α−β＝/５ ですから
１
５ ＝ ----（α５−β５ ）
/５
● 単数 ●
さて、＜お勉強＞の「ペル方程式」の最後に、こんなことを書きました。
・・・ じつは、「黄金数」も基本単数です。
では、こちらではどんなふうになるのでしょうか。・・・
さて、どんなことがいえましたか。
やってみましょう！！
まず、
１＋/５ １−/５
α＝-------- ， β＝ --------
２ ２
これから、αβ＝−１ です。
このことは、α，βが
ｘ２＝ｘ＋１ つまり ｘ２−ｘ−１＝０
の解ですから、高校生、とくに受験生によく知られている
解と係数の関係になっています。
そうすると、こんなことがいえますね。
αβ＝−１
α２β２＝１
α３β３＝−１
α４β４＝１
α５β５＝−１
さあ、これからどんなことが出てくるでしょう。
その前に、
β ，β２ ，β３ ，β４ ，β５ ，・・・・・
をαを用いて表してみましょう。
今度も、ちょくせつ計算してもいいですが、
解と係数の関係から
α＋β＝１
ということは、
β＝１−α
さらに、
β２＝β＋１＝（１−α）＋１＝２−α
β３＝β２＋β＝（２−α）＋（１−α）＝３−２α
β４＝β３＋β２＝（３−２α）＋（２−α）＝５−３α
β５＝β４＋β３＝（５−３α）＋（３−２α）＝８−５α
またまた、どんどんフィボナッチ数がでてきましたね。
さあ、これを使って、書きかえてみましょう。
αβ＝−１ は α（１−α）＝−１
α２β２＝１ は （１＋α）（２−α）＝１
α３β３＝−１ は （１＋２α）（３−２α）＝−１
α４β４＝１ は （２＋３α）（５−３α）＝１
α５β５＝−１ は （３＋５α）（８−５α）＝−１
おやおや、どれも連続した３つのフィボナッチ数がでてきています。
（１＋α）（２−α）＝１ なら １，１，２
（１＋２α）（３−２α）＝−１ なら １，２，３
（２＋３α）（５−３α）＝１ なら ２，３，５
（３＋５α）（８−５α）＝−１ なら ３，５，８
（１＋α）（２−α）や（１＋２α）（３−２α）・・・を展開する前に
急がば回れで、まず次の式を展開してみます。
（ｘ１＋ｙ１α）（ｘ２＋ｙ２α）
＝ｘ１ｘ２＋ｘ１ｙ２α＋ｘ２ｙ１α＋ｙ１ｙ２α２
＝ｘ１ｘ２＋ｘ１ｙ２α＋ｘ２ｙ１α＋ｙ１ｙ２（α＋１）
＝（ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２）＋（ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＋ｙ１ｙ２）α ・・・ （１）
さらに、こんなことを考えてみます。
Ａ＝ｘ＋ｙα としたとき Ａ＝ｘ＋ｙβ とします。
ところで、 β＝１−α でしたから
Ａ＝ｘ＋ｙβ
＝ｘ＋ｙ（１−α）
＝（ｘ＋ｙ）−ｙα
そこで、（１）をつかって
ＡＡ＝（ｘ＋ｙα）（（ｘ＋ｙ）−ｙα）
を展開します。
ｘ１＝ｘ ， ｙ１＝ｙ ， ｘ２＝ｘ＋ｙ ， ｙ２＝−ｙ
として計算すると
ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝ｘ（ｘ＋ｙ）＋ｙ（−ｙ）
＝ｘ（ｘ＋ｙ）−ｙ２
ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＋ｙ１ｙ２＝ｘ（−ｙ）＋（ｘ＋ｙ）ｙ＋ｙ（−ｙ）
＝−ｘｙ＋ｘｙ＋ｙ２−ｙ２
＝０
けっきょく、αの係数は消えて（このことは、じつは一般論から言えるのですが・・・）
ＡＡ＝（ｘ＋ｙα）（（ｘ＋ｙ）−ｙα）＝ｘ（ｘ＋ｙ）−ｙ２
ということは・・・・
α２β２＝１ より １×２−１２＝１
α３β３＝−１ より １×３−２２＝−１
α４β４＝１ より ２×５−３２＝１
α５β５＝−１ より ３×８−５２＝−１
な〜んだ！＜お勉強＞の「フィボナッチ数」で一度やったことは
こんなことがネタだったのですね。
● 一次結合 ●
今度はわり算をして、ど〜んとフィボナッチ数をだしてみます。
こんな多項式のわり算をするのです。
ｘ２ ÷（ｘ２−ｘ−１）
ｘ３ ÷（ｘ２−ｘ−１）
ｘ４ ÷（ｘ２−ｘ−１）
ｘ５ ÷（ｘ２−ｘ−１）
ｘ６ ÷（ｘ２−ｘ−１）
ちなみに、しつこいようですが、黄金数αは
ｘ２−ｘ−１＝０
の解でした。
それでは、全部まとめて１回でわり算してしまいましょう。
（係数だけ書いてわり算します。）
１ １ ２ ３ ５ ８
１ −１ −１ ） １ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０
１ −１ −１
１ １ ０
１ −１ −１
２ １ ０
２ −２ −２
３ ２ ０
３ −３ −３
５ ３ ０
５ −５ −５
８ ５ ０
８ −８ −８
１３ ８
わり算のけっかは、こうなりましたね。
ｘ２ ÷（ｘ２−ｘ−１）＝１ あまり １ｘ＋１
ｘ３ ÷（ｘ２−ｘ−１）＝１ｘ＋１ あまり ２ｘ＋１
ｘ４ ÷（ｘ２−ｘ−１）＝１ｘ２＋１ｘ＋２ あまり ３ｘ＋２
ｘ５ ÷（ｘ２−ｘ−１）＝１ｘ３＋１ｘ２＋２ｘ＋３ あまり ５ｘ＋３
ｘ６ ÷（ｘ２−ｘ−１）＝１ｘ４＋１ｘ３＋２ｘ２＋３ｘ＋５ あまり ８ｘ＋５
これらのわり算のたしかめ算は
ｘ２ ＝ １（ｘ２−ｘ−１）＋１ｘ＋１
ｘ３ ＝ （１ｘ＋１）（ｘ２−ｘ−１）＋２ｘ＋１
ｘ４ ＝ （１ｘ２＋１ｘ＋２）（ｘ２−ｘ−１）＋３ｘ＋２
ｘ５ ＝ （１ｘ３＋１ｘ２＋２ｘ＋３）（ｘ２−ｘ−１）＋５ｘ＋３
ｘ６ ＝ （１ｘ４＋１ｘ３＋２ｘ２＋３ｘ＋５）（ｘ２−ｘ−１）＋８ｘ＋５
＜ｘ＝α を代入＞
まず、ｘ＝α を代入すると、α２−α−１＝０ ですから
α２＝１α＋１
α３＝２α＋１
α４＝３α＋２
α５＝５α＋３
α６＝８α＋５
と出てきますね。
＜ｘ＝１ を代入＞
今度は、ｘ＝１ を代入してみます。ためしに、
ｘ６ ＝ （ １ｘ４＋１ｘ３＋２ｘ２＋３ｘ＋５）（ｘ２−ｘ−１）＋８ｘ＋５
に代入してみると
１ ＝（１＋１＋２＋３＋５）（−１）＋８＋５
１＋１＋２＋３＋５ ＝ １３−１
これも、＜お勉強＞の「フィボナッチ数」で一度やったもので、
フィボナッチ数をじゅんにたすと、最後の次の次の数から１ひいたものになる
とまとめましたね。
＜ｘ＝−１ を代入＞
今度は、ｘ＝−１ を代入してみます。今度はためしに、
ｘ５ ＝ （ １ｘ３＋１ｘ２＋２ｘ＋３）（ｘ２−ｘ−１）＋５ｘ＋３
ｘ６ ＝ （ １ｘ４＋１ｘ３＋２ｘ２＋３ｘ＋５）（ｘ２−ｘ−１）＋８ｘ＋５
の両方に代入してみると
奇数乗のときは
−１ ＝ （−１＋１−２＋３）−５＋３
１ ＝ １−１＋２−３＋５−３
１＋３ ＝ １−１＋２−３＋５
のように、たすひくを奇数回すると、
１にさいごの１つ前の数をたしたものになります。
偶数乗のときは
１ ＝ （
１−１＋２−３＋５）−８＋５
１−５ ＝ １−１＋２−３＋５−８
のように、たすひくを偶数回すると、
１からさいごの１つ前の数をひいたものになります。
これは、まだやっていなかったような気がしますね。
● 母関数 ●
さあ、やっと今回のテーマです。（と言っても、つけたしですが・・・）
（フィボナッチ数のような）数列に ｘの累乗（るいじょう）をくっつけて、
形式的べき級数の形にしたものを考えるのです。
Ｆ（ｘ）＝１ｘ＋１ｘ２＋２ｘ３＋３ｘ４＋５ｘ５＋８ｘ６＋・・・・・
そして、これをもとの数列の母関数（ぼかんすう）とか生成関数というのです。
もちろん、収束（しゅうそく）なんかを問題にしたいのではなくって、
もとの数列の一般項を知りたいときなどに使うのです。
では、ためしに使ってみましょう。
さっきのわり算を、ちょっと見方をかえると
１ｘ＋１ｘ２＋２ｘ３＋３ｘ４＋５ｘ５＋８ｘ６＋・・・
１ −ｘ −ｘ２ ）１ｘ ０ ０ ０ ０ ０
１ｘ−１ｘ２−１ｘ３
１ｘ２＋１ｘ３
１ｘ２−１ｘ３−１ｘ４
２ｘ３＋１ｘ４
２ｘ３−２ｘ４−２ｘ５
３ｘ４＋２ｘ５
３ｘ４−３ｘ５−３ｘ６
５ｘ５＋３ｘ６
５ｘ５−５ｘ６−５ｘ７
８ｘ６＋５ｘ７
８ｘ６−８ｘ７−８ｘ８
１３ｘ７＋８ｘ８
ということは、
ｘ
------------ ＝ １ｘ＋１ｘ２＋２ｘ３＋３ｘ４＋５ｘ５＋８ｘ６＋・・・
１−ｘ−ｘ２
ｘ
Ｆ（ｘ）＝ ------------
１−ｘ−ｘ２
ところで、α＋β＝１ ， αβ＝−１ でしたから
ｘ
Ｆ（ｘ）＝ ------------------------
１−（α＋β）ｘ＋αβｘ２
ｘ
＝ --------------------
（１−αｘ）（１−βｘ）
１ １ １
＝ -------- × （ -------- − -------- ）
α−β １−αｘ １−βｘ
１ １ １
＝ -------- × （ -------- − -------- ） ・・・ （２）
/５ １−αｘ １−βｘ
さて、
Ｆ（ｘ）＝ １ｘ＋１ｘ２＋２ｘ３＋３ｘ４＋５ｘ５＋８ｘ６＋・・・・・
１
-------- ＝ １＋αｘ＋α２ｘ２＋α３ｘ３＋α４ｘ４＋α５ｘ５＋・・・・・
１−αｘ
１
-------- ＝ １＋βｘ＋β２ｘ２＋β３ｘ３＋β４ｘ４＋β５ｘ５＋・・・・・
１−βｘ
ここで、（２）の両辺を見くらべると、たとえば ｘ５ の係数から
１
５ ＝ ----（α５−β５ ）
/５
と、またまた出てくるというわけです。
今回も、黄金数とフィボナッチ数についてでした。
これだけやると、なんとなく親しみがわいてきますね。
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小林吹代
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