カタラン数（２）
● パスカルの三角形 ●
パスカルの三角形には、カタラン数
１ ， １ ， ２ ， ５ ， １４ ， ４２ ， ・・・
がひそんでいました。
前回は、まん中の数から、わり算してでてきましたね。
１
１ １
１ ２ １
１ ３ ３ １
１ ４ ６ ４ １
１ ５ １０ １０ ５ １
１ ６ １５ ２０ １５ ６ １
１ ７ ２１ ３５ ３５ ２１ ７ １
１ ８ ２８ ５６ ７０ ５６ ２８ ８ １
１ ９ ３６ ８４ １２６ １２６ ８４ ３６ ９ １
１ １０ ４５ １２０ ２１０ ２５２ ２１０ １２０ ４５ １０ １
これから、
１÷１＝１
２÷２＝１
６÷３＝２
２０÷４＝５
７０÷５＝１４
２５２÷６＝４２
というぐあいに、カタラン数
１ ， １ ， ２ ， ５ ， １４ ， ４２ ， ・・・
がでてきました。
（もっとも、カタラン数って、そもそも何なのだ〜
ということを、まだお話していなかったのですが、
それは、またそのうち・・・）
じつは、パスカルの三角形には、
ほかにもカタラン数がひそんでいるのです。
１
１ １
１ ２ １
１ ３ ３ １
１ ４ ６ ４ １
１ ５ １０ １０ ５ １
１ ６ １５ ２０ １５ ６ １
１ ７ ２１ ３５ ３５ ２１ ７ １
１ ８ ２８ ５６ ７０ ５６ ２８ ８ １
１ ９ ３６ ８４ １２６ １２６ ８４ ３６ ９ １
１ １０ ４５ １２０ ２１０ ２５２ ２１０ １２０ ４５ １０ １
さっきは、わり算をしましたが、
こんどは、ひき算をするのです。
１＝１
２−１＝１
６−４＝２
２０−１５＝５
７０−５６＝１４
２５２−２１０＝４２
ほら、カタラン数
１ ， １ ， ２ ， ５ ， １４ ， ４２ ， ・・・
がでてきました。
では、どうしてカタラン数がでてくるのか、
これからみていきましょう。
● 中への（１対１）対応 ●
今回も、パスカルの三角形をよこにねかせて考えましょう。
どれも、おなじようにやれますので、今回は
６−４＝２
として出てきた ２ が、カタラン数になっていることを見てみます。
|
|
|
まず、（水色の）４通りある行き方を、
それぞれ（黄色い）６通りある行き方のうちの４通りに対応（たいおう）させます。
|
|
|
|
|
|
対応（たいおう）のさせ方は、
みどり色の線のところまでは同じ行き方で、
そこからさきだけ、みどり色の線について対称（たいしょう）になっているものと
対応させるのです。
そうすれば、４のところと、６のところは、
みどり色の線について対称なところにありますから、
対応させることができるのです。
それでは、（黄色い）６通りある行き方のうちの
のこりの２通りは、どんな行き方でしょうか。
それは、みどり色の線のところまで来ない、
つまり、ず〜っと上ばかり通っていく行き方です。
前回の「カタラン数（１）」で、ついている「わりあい」として
２/２ つまり ず〜っと上 か
１/２ つまり 半分上 で 半分下 か
０/２ つまり ず〜っと下 かです。
と３つにわけた、２/２のばあいになるのです。
この３つのばあいは、どれも同じだけあって、
６÷３＝２
として、でてきました。
（いまのところ）これがカタラン数というものでしたね。
ですから、６−４＝２ として出てきた ２ は、
カタラン数になっているというわけです。
ところで、６ と ４ の ４の方は、６通りのうちの
１/２ つまり 半分上 で 半分下 か
０/２ つまり ず〜っと下 か
をあわせたものです。
ですから、もちろん
４ ： ６ ＝ ２ ： ３
となっています。
同じようにして、パスカルの三角形では、つぎのようになります。
１
１ １
１ ２ １
１ ３ ３ １
１ ４ ６ ４ １
１ ５ １０ １０ ５ １
１ ６ １５ ２０ １５ ６ １
１ ７ ２１ ３５ ３５ ２１ ７ １
１ ８ ２８ ５６ ７０ ５６ ２８ ８ １
１ ９ ３６ ８４ １２６ １２６ ８４ ３６ ９ １
１ １０ ４５ １２０ ２１０ ２５２ ２１０ １２０ ４５ １０ １
ここで、
１ ： ２ ＝ １ ： ２
４ ： ６ ＝ ２ ： ３
１５ ： ２０ ＝ ３ ： ４
５６ ： ７０ ＝ ４ ： ５
２１０ ： ２５２ ＝ ５ ： ６
となっています。
● パスカル風三角形 ●
今度は、このホームページの「パスカルの三角形」でやったように、
道順（みちじゅん）の個数をかぞえて、カタラン数をだしてみましょう。
（どれも同じ数だけあるのですから）
ず〜っと上を通っていく行き方をかぞえてみます。
つまり、上半分で考えます。
やり方は、（和の法則を使うだけで）
このホームページの「パスカルの三角形」でやったのと同じです。
ほら、カタラン数
１ ， １ ， ２ ， ５ ， １４ ， ４２ ， ・・・
がでてきましたね。
この「パスカル風三角形」から、こんなことがわかります。
１＝ １２
１＝ １２
２＝ １２ ＋ １２
５＝ １２ ＋ ２２
１４＝ １２ ＋ ３２ ＋ ２２
４２＝ １２ ＋ ４２ ＋ ５２
どれも同じようにしていえますので、
４２＝ １２ ＋ ４２ ＋ ５２
で見てみましょう。
まず、４２ のところに行くには
１ のところか
４ のところか
５ のところを
通らなくてはいけません。
１ のところは １×１ 通り
４ のところは ４×４ 通り
５ のところは ５×５ 通り
となって、けっきょく
４２＝ １２ ＋ ４２ ＋ ５２
となります。
掲載内容の無断転載、転用、編集を禁じます。(c)
小林吹代
All Rights Reserved, （c）kobayashi fukiyo , 2001