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エラトステネスのふるい |
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● 素数の個数 ● ２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９，・・・・・・・・・・ 素数（そすう）はいったいどれくらいあるのでしょうか。 じつは、無限に多くあることが古くから知られています。 こんなふうに考えるのです。 もし、有限個しかなかったとしたら、一番大きい素数をＰとしましょう。 ２，３，５，・・・ ，Ｐ 以上が、小さいじゅんにならべたすべての素数です。 さて、それら全部をかけて１をたした数をＡとします。 こうしてできた数は合成数のはずですね。 合成数ですから、２，３，５，・・・ ，Ｐのどれかの素数でわりきれるはずです。 Ａ÷２＝３×５×・・・×Ｐ あまり １ のようになって、どれもわりきれません。 ということは・・・
● エラトステネスのふるい ● 素数かどうか調べる方法にも、古くから知られているものがあります。 「エラトステネスのふるい」です。 これは、合成数を「ふるい」落としていって たとえば１００までの素数を知りたいとしましょう。 １０までの素数は まず、１ は（特別な数で素数ではないので）消してしまいます。 次に、２は（素数ですから）そのままにして、 同じようにして、 そのとき、ふるい落とされずにのこった数が素数だというのです。 のこったのは
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５ １６ １７ １８ １９ ２０ ２１ ２２ ２３ ２４ ２５ ２６ ２７ ２８ ２９ ３０ ３１ ３２ ３３ ３４ ３５ ３６ ３７ ３８ ３９ ４０ ４１ ４２ ４３ ４４ ４５ ４６ ４７ ４８ ４９ ５０ ５１ ５２ ５３ ５４ ５５ ５６ ５７ ５８ ５９ ６０ ６１ ６２ ６３ ６４ ６５ ６６ ６７ ６８ ６９ ７０ ７１ ７２ ７３ ７４ ７５ ７６ ７７ ７８ ７９ ８０ ８１ ８２ ８３ ８４ ８５ ８６ ８７ ８８ ８９ ９０ ９１ ９２ ９３ ９４ ９５ ９６ ９７ ９８ ９９ １００
さあ、どうしてふるい落とされずにのこった数が素数だといえるのでしょうか。 たとえば ９７ で考えてみましょう。 もし、９７が素数でなく、合成数だったら ９７＝□×○×・・・・・×△ のように素因数分解されます。（合成数なら素因数は２個以上ある！） このとき、□，○，・・・・・，△ のどれかは /１００＝１０ までの素数ですね。 １０×１０（×・・・・・×１０） の１００より大きくなってしまいますから。 さて、□，○，・・・・・，△ のどれかは /１００＝１０ までの素数ですから、 そうすると、 ９７＝□×（○×・・・・・×△） は、９７ が □ の （○×・・・・・×△）倍 ってことですから、 ところが、ふるい落とされずにのこっていた・・・・・ 言葉にするとややこしいけど、こんなことパッとわかりますよね。
● 素数かな？ ● こんなことを考えてみましょう。 今年は２００１年ですが、今度素数になる年はいつかな？ ２００１÷３＝６６７ ですから 今年は素数ではありません。 では、２００３年はどうでしょうか。 「エラトステネスのふるい」でやってみましょう。 /２００３ までの素数の倍数でなかったら、 電卓でやってみると ２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９，３１，３７，４１，４３ です。 ２００３÷ ２＝１００１ あまり １ けっきょく、どの素数でもわりきれなかったので どうですか？
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小林吹代 |