フェルマーの小定理

●　循環小数（じゅんかんしょうすう）　●

　フェルマーの大定理（最終定理）が、１９９４年にワイルスによって証明され、
当時はかなり話題になりましたね。

　でも、コンピュータの「暗号（あんごう）」のお話で、フェルマーの小定理の方も、
そのずっと前から話題になっていたことを知っていますか。

　フェルマーは、やがてコンピュータの時代がきて、
その時自分の発見した定理が「暗号」に応用されるなんて、
思ってもいなかったでしょうね。

　さて、フェルマーは循環小数（じゅんかんしょうすう）を研究していて
この定理を発見したと言われています。

　では、ちょっとより道して、その循環小数についてみてみましょう。

　じつは、このホームページでも何回か出てきています。

　＜お勉強＞の「１４２８５７」や「わりきれる？」などでです。

　こんな数でしたね。

　１/３＝１÷３＝０．３３３３３・・・・・

　１/６＝１÷６＝０．１６６６６・・・・・

　１/７＝１÷７＝０．１４２８５７１４２８５７・・・・・

　１/９＝１÷９＝０．１１１１１・・・・・

　１/１１＝１÷１１＝０．０９０９０９０・・・・・

　１/１２＝１÷１２＝０．０８３３３３・・・・・

　１/１３＝１÷１３＝０．０７６９２３０７６９２３０・・・・・

　さて、このくりかえされる部分を循環節（じゅんかんせつ）と言います。
　たとえば

　　　０．１４２８５７１４２８５７・・・・・　の循環節は　１４２８５７
　　　０．０９０９０９０・・・・・　の循環節は　０９
　　　０．０８３３３３・・・・・　の循環節は　３

　そして、そのけた数を位数（いすう）と言います。
　たとえば

　　　０．１４２８５７１４２８５７・・・・・　の位数は　６
　　　０．０９０９０９０・・・・・　の　位数は　２
　　　０．０８３３３３・・・・・　の　位数は　１　　　

●　合同式　●

　では、もう一度じっさいにわり算をして、循環節を求めてみましょう。

　今度も　１/７＝１÷７　でやってみましょう。
　ここで、７は素数であることに注意してください。

　　　　（注意）７分の１　を　１/７　と書くことにします。

　フェルマーの小定理は素数についてのものです。
　オイラーはさらに合成数について発展させました。
　こちらは、オイラーの定理とよばれています。

　では、復習です。

　この、続きはしなくていいことは、＜お勉強＞の「１４２８５７」でやりましたね。

　１０÷７　ですから　同じことのくりかえしでした。

　さて、わりきれないって・・・いや〜ですね。
　「わりきれない思い」って言うくらいです。

　それなら、バッサリわりきっちゃいましょう！

　なんでわりきれないかというと、それはあまりがあるからにきまってま〜す。
　（オイオイ・・・！！）
　それなら、最初からあまりの分だけへらしておきましょう。
　ついでに小数点もとってしまって、整数の話にしてしまうのがコツです。

　　　１００００００　から　あまりの　１　をひくと　９９９９９９　です。　

　

１４２８５７ 　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿ 　　　　７　）　　１００００００　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　７ 　　　　　　　＿＿＿＿ 　　　　　　　　　　３０ 　　　　　　　　　　２８ 　　　　　　　　　　＿＿＿ 　　　　　　　　　　　２０ 　　　　　　　　　　　１４ 　　　　　　　　　　　＿＿＿ 　　　　　　　　　　　　６０ 　　　　　　　　　　　　５６ 　　　　　　　　　　　　＿＿＿ 　　　　　　　　　　　　　４０ 　　　　　　　　　　　　　３５ 　　　　　　　　　　　　　＿＿＿ 　　　　　　　　　　　　　　５０ 　　　　　　　　　　　　　　４９ 　　　　　　　　　　　　　　＿＿＿ 　　　　　　　　　　　　　　　１

１４２８５７ 　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿ 　　　　７　）　　　９９９９９９　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　７ 　　　　　　　＿＿＿＿ 　　　　　　　　　　２９ 　　　　　　　　　　２８ 　　　　　　　　　　＿＿＿ 　　　　　　　　　　　１９ 　　　　　　　　　　　１４ 　　　　　　　　　　　＿＿＿ 　　　　　　　　　　　　５９ 　　　　　　　　　　　　５６ 　　　　　　　　　　　　＿＿＿ 　　　　　　　　　　　　　３９ 　　　　　　　　　　　　　３５ 　　　　　　　　　　　　　＿＿＿ 　　　　　　　　　　　　　　４９ 　　　　　　　　　　　　　　４９ 　　　　　　　　　　　　　　＿＿＿ 　　　　　　　　　　　　　　　０

　今度は、同じあまりが出てくるかどうか気をつけていなくても
わりきれるまでどんどん　９　を下ろしてきてわっていけばいいので気楽ですね。

　　９÷７　，　９９÷７　，　９９９÷７　，　９９９９÷７　，　９９９９９÷７

は、わりきれなかったけれど、９９９９９９÷７　はわりきれました。

　そして、　９９９９９９÷７＝１４２８５７　となりました。
　つまり、９９９９９９＝１４２８５７×７　です。

　もう一度くりかえすと、こういうことです。

　（１０−１）÷７　，（１００−１）÷７　，（１０００−１）÷７　，
　（１００００−１）÷７　，（１０００００−１）÷７

は、わりきれなかったけど、（１００００００−１）÷７　はわりきれました。

　（１００００００−１）÷７　がわりきれること、
つまり　１００００００−１　が　７の倍数であることを

　　　１００００００≡１　（mod　７）

と書いて、１００００００　と　１　は　法７に関して合同であるといいます。

　ここで、mod　というのは　ラテン語の　modulus　の略で、法と訳すことになっています。

　　　１００００００＝１０×１０×１０×１０×１０×１０
　　　　　　　　　　＝１０^６

　ですから、

　　　１０^６≡１　（mod　７）

　ここで、１０　は　１０進法　であること、
　　　　　　　６　は　１４２８５７　が　６けた　であること、つまり位数の　６　です。

●　３進法　●

　１０進数の１０が出てきたので、それならば・・・
ということで、ほかの２進数とか３進数とかで１/７をあらわしてみましょう。

　さて、９９９　は　あと１で　１０００になる数でした。
　＜お勉強＞の「１０００−１」でやりましたね。

　では、２進法であと　１　あると　（１０００）_２　になる数は？
　そうですね。（１１１）_２　です。

　では、３進法であと　１　あると　（１０００）_３　になる数は？
　そうですね。（２２２）_３　です。

　では、４進法であと　１　あると　（１０００）_４　になる数は？
　そうですね。（３３３）_４　です。

　では、５進法であと　１　あると　（１０００）_５　になる数は？
　そうですね。（４４４）_５　です。

　では、６進法であと　１　あると　（１０００）_６　になる数は？
　そうですね。（５５５）_６　です。

　では、７進法で・・・
　おっとっと、７進法なら　１/７＝（０．１）_７　です。

　では、８進法であと　１　あると　（１０００）_８　になる数は？
　そうですね。（７７７）_８　です。

　では、９進法であと　１　あると　（１０００）_９　になる数は？
　そうですね。（８８８）_９　です。

　では、１０進法であと　１　あると　（１０００）_１０　になる数は？
　そうですね。もうやった（９９９）_１０　です。
　そして、わりきれるまでどんどん　９　を下ろしてきてわっていったのですね。

　ではこのへんで、１/７をためしに３進法であらわしてみましょう。
　今度は、わりきれるまでどんどん　２　を下ろしてきてわっていきます。

　まず、７　を　３進法であらわすと、７＝２×３＋１　ですから　（２１）_３です。
　さあ、３進法でくりあがり・くりさがりを考えながらやってみましょう。
　でも、１０進法のかけ算とごちゃごちゃになりそうな人は、むりしないでね。

　

０１０２１２ 　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿ 　　　　２１　）　　２２２２２２　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　２１ 　　　　　　　　＿＿＿＿ 　　　　　　　　　　　１２２ 　　　　　　　　　　　１１２　　　ここで　２×２＝４＝３＋１＝（１１）３ 　　　　　　　　　　　＿＿＿ 　　　　　　　　　　　　１０２ 　　　　　　　　　　　　　２１ 　　　　　　　　　　　　＿＿＿ 　　　　　　　　　　　　　１１２　　　となりから　３　借りてくると　３−２＝１ 　　　　　　　　　　　　　１１２ 　　　　　　　　　　　　＿＿＿ 　　　　　　　　　　　　　　　０

　これから、

　　１/７＝（０．０１０２１２０１０２１２・・・・・）_３

　けっきょく、３進法では　循環節は０１０２１２　となり、位数は　６　です。

　そして、　（２２２２２２）_３÷（２１）_３＝（０１０２１２）_３　となりました。
　つまり、（２２２２２２）_３＝（０１０２１２）_３×（２１）_３これを１０進法になおすと、

　　　　　３^６−１＝１０４×７

　となります。そして、

　（３−１）÷７　，（３^２−１）÷７　，（３^３−１）÷７　，
　（３^４−１）÷７　，（３^５−１）÷７

は、わりきれなかったけど、（３^６−１）÷７　はわりきれました。

　今回は　３^６≡１　（mod　７）

　ここで、３　は　３進法　であること、
　　　　　　　６　は　（０１０２１２）_３　が　６けた　であること、つまり位数の　６　です。

●　ｎ進法　●

　せっかくですから、２進法、４進法、・・・とじゅんにやってみましょう。

■２進法

　　　　７＝４＋２＋１＝（１１１）_２

　　　　　　　　００１
　　　　１１１）１１１
　　　　　　　　１１１
　　　　　　　　　　０

　　　　１/７＝（０．００１００１００１・・・・・）_２

　　　　　１　　　　１　　　　１　　　　　１　
　　　　　７　^＝２^３　＋　２^６　　＋　２^９　　＋　・・・・・

　　　　（１１１）_２＝（００１）_２×（１１１）_２

　　　　２^３−１＝１×７

　　　　２^３≡１　（mod　７）

■４進法

　　　　７＝１×４＋３＝（１３）_４

　　　　　　　　０２１
　　　　　１３）３３３
　　　　　　　　３２　　　　２×３＝６＝４＋２＝（１２）_４
　　　　　　　　　１３
　　　　　　　　　１３
　　　　　　　　　　０

　　　　１/７＝（０．０２１０２１０２１・・・・・）_４

　　　　（３３３）_４＝（０２１）_４×（１３）_４

　　　　４^３−１＝９×７

　　　　４^３≡１　（mod　７）

■５進法

　　　　７＝１×５＋２＝（１２）_５

　　　　　　　　０３２４１２
　　　　　１２）４４４４４４
　　　　　　　　４１　　　　　３×２＝６＝５＋１＝（１１）_５
　　　　　　　　　３４
　　　　　　　　　２４　
　　　　　　　　　１０４
　　　　　　　　　１０３　　　４×２＝８＝５＋３＝（１３）_５　，　５＝（１０）_５
　　　　　　　　　　　１４
　　　　　　　　　　　１２　
　　　　　　　　　　　　２４
　　　　　　　　　　　　２４
　　　　　　　　　　　　　０

　　　　１/７＝（０．０３２４１２０３２４１２・・・・・）_５

　　　　（４４４４４４）_５＝（０３２４１２）_５×（１２）_５

　　　　５^６−１＝２２３２×７

　　　　５^６≡１　（mod　７）

■６進法

　　　　７＝６＋１＝（１１）_６

　　　　　　　　０５
　　　　　１１）５５
　　　　　　　　５５
　　　　　　　　　０

　　　　１/７＝（０．０５０５０５・・・・・）_６

　　　　　１　　　　５　　　　５　　　　　５　
　　　　　７　^＝６^２　＋　６^４　　＋　６^６　　＋　・・・・・

　　　　（５５）_６＝（０５）_６×（１１）_６

　　　　６^２−１＝５×７

　　　　６^２≡１　（mod　７）

■８進法

　　　　７＝（７）_８

　　　　　　　１
　　　　　７）７
　　　　　　　７
　　　　　　　０

　　　　１/７＝（０．１１１・・・・・）_８

　　　　　１　　　　１　　　　１　　　　　１　
　　　　　７　^＝８　^＋　８^２　　＋　８^３　　＋　・・・・・

　　　　（７）_８＝（１）_８×（７）_８

　　　　８^１−１＝１×７

　　　　８^１≡１　（mod　７）

■９進法

　　　　７＝（７）_９

　　　　　　　　１２５
　　　　　　７）８８８
　　　　　　　　７　
　　　　　　　　１８
　　　　　　　　１５　　　　２×７＝１４＝９＋５＝（１５）_９
　　　　　　　　　３８
　　　　　　　　　３８　　　５×７＝３５＝３×９＋８＝（３８）_９
　　　　　　　　　　０

　　　　１/７＝（０．１２５１２５１２５・・・・・）_９

　　　　（８８８）_９＝（１２５）_９×（７）_９

　　　　９^３−１＝１０４×７

　　　　９^３≡１　（mod　７）

■ｎ進法

　１１進法からは、０から９までの数字ではたりなくて、
コンピュータの１６進法のときのように、
A（１０），B（１１），C（１２），・・・まで必要になってきます。

　でも、そんなことしなくても位数だけなら同じことのくりかえしになってきます。

　　　１^１≡１　（mod　７）　　，　　８^１≡１　（mod　７）

　　　２^３≡１　（mod　７）　　，　　９^３≡１　（mod　７）

　　　３^６≡１　（mod　７）　　，　　

　　　４^３≡１　（mod　７）　　，　　

　　　５^６≡１　（mod　７）　　，　　

　　　６^２≡１　（mod　７）　　，　　

　さて、こんなことに気づきますね。

　位数はどれも、７−１＝６　の約数です。
　（このようなことは、大学では「群論（ぐんろん）」というのでお勉強するのです。）

　そして、このことから次のフェルマーの小定理が出てくるのです。

　

≪フェルマーの小定理≫ 　　　　　整数ａ　が　素数ｐ　でわりきれないとき 　　　　　　　　ａｐ−１≡１　（mod　ｐ）

●　ふろく　●

　せっかくですから、

　１/７＝１÷７＝０．１４２８５７１４２８５７・・・・・

をもちいて、１/２８　をやってみましょう。

　　　　　１　　　　　　　１　　
　　　　　２８　^＝　２^２×７　

　　　　　　　　　　　　　１×５^{２　　
　　　　　　　　＝}　２^２×７×５^２　

　　　　　　　　　　　　　２５　　
　　　　　　　　^＝　１００×７　

　　　　　　　　　　　　　１　　　　　　２５
　　　　　　　　^＝　１００　　　^×　　７

　　　　　　　　　　　　　１　　　　　　　　　　　　４　
　　　　　　　　^＝　１００　　　^{×　（　３＋}　７　　^）

　　　　　　　　　　　　　１　　
　　　　　　　　^＝　１００　　　^{×　（　３＋４×０．１４２８５７１４２８５７・・・・・　）}

　　　　　　　　　　　　　１　　
　　　　　　　　^＝　１００　　　^{×　（　３＋０．５７１４２８５７１４２８・・・・・　）}

　　　　　　　　　　　　　１　　
　　　　　　　　^＝　１００　　　^{×　（　３．５７１４２８５７１４２８・・・・・　）}

　　　　　　　　^{＝　　０．０３５７１４２８５７１４２８・・・・・　）}

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