フィボナッチ数
● ユークリッドの互除法 ●
＜お勉強＞の「黄金数」ででてきたように、
フィボナッチ数というのは、こんな数でした。
１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，・・・
これらの数はこんなふうにして出てきました。
１
１
１＋１＝２
２＋１＝３
３＋２＝５
５＋３＝８
・・・・・・・
これって、じつはユークリッドの互除法です。
＜お勉強＞の「ユークリッドの互除法」のところで、
（ずばり ５ と ８ で）一度やったのです。
ユークリッドの互除法って、お互いにわり算していくのでしたから、
８÷５＝１ あまり ３
５÷３＝１ あまり ２
３÷２＝１ あまり １
となります。
これの「たしかめ算」は
８＝１×５＋３ つまり ８＝５＋３
５＝１×３＋２ つまり ５＝３＋２
３＝１×２＋１ つまり ３＝２＋１
これに
２＝１＋１
をつけくわえると、これはもう
（下から見ていけば）フィボナッチ数の出し方ですね。
ユークリッドの互除法では、最大公約数をもとめたのですから、
この場合は、５と８の最大公約数が１ということです。
このとき、５と８は 互いに素 っていいましたね。
ということは・・・
５ と ８ でなくっても、フィボナッチ数のとなりあった数であれば、
（作り方をさかのぼっていけば、それがユークリッドの互除法になっていて）
最大公約数は １ とわかります。
つまり、フィボナッチ数のとなりあった数は、互いに素になっています。
● フィボナッチ数の性質（１） ●
フィボナッチ数 １，１，２，３，５，８
について、すぐにこんなことがわかります。
長方形の面積は、正方形の面積をあわせたものですから
１２＋１２＋２２＋３２＋５２ ＝ ５×８
となります。
フィボナッチ数 １，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５
についても同じようにしてやれば、
１２＋１２＋２２＋３２＋５２＋８２＋１３２＋２１２＋３４２＝ ３４×５５
となります。
つまり、
フィボナッチ数をじゅんに２乗してたすと、最後とその次の数をかけたもの
になるのですね。
● フィボナッチ数の性質（２） ●
フィボナッチ数 １，１，２，３，５，８
について、すぐにこんなこともわかります。
８＝５＋３
５＝３＋２
３＝２＋１
２＝１＋１
ここで、つぎつぎに下の式を入れていくのです。
そうすると、
８＝（３＋２）＋３
＝（２＋１）＋２＋３
＝（１＋１）＋１＋２＋３
これより、
８−１＝１＋１＋２＋３
つまり
１＋１＋２＋３ ＝ ８−１
となります。
フィボナッチ数１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５
についても同じようにしてやれば、
１＋１＋２＋３＋５＋８＋１３＋２１ ＝ ５５−１
となります。
つまり、
フィボナッチ数をじゅんにたすと、最後の次の次の数から１ひいたもの
になるのですね。
● フィボナッチ数の性質（３） ●
それなら、今度はひとつおきにたしてみましょう。
フィボナッチ数 １，１，２，３，５，８，１３，を、ひとつおきにたすのです。
つまり、
１＋２＋５＋１３＝？
１＋３＋８＝？
を考えるのです。
＜横の長さ＞
１＋２＋５＋１３＝？
これは、ちょうど
１番と３番と５番と７番の正方形の辺の長さをあわせたもの
になっていますから、大きい長方形の横の長さの ２１ になります。
フィボナッチ数 １，１，２，３，５，８，１３，の次の数の ２１ です。
１＋２＋５＋１３＝２１
フィボナッチ数 １，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，（５５）
についても同じようにしてやれば、
１＋２＋５＋１３＋３４＝５５
となります。
つまり、
奇数番目のフィボナッチ数をじゅんにたすと、最後の次の数
になるのですね。
＜たての長さ＞
１＋３＋８＝？
これは、ちょうど
２番と４番と６番の正方形の辺の長さをあわせたものにあと１たすと
大きい長方形のたての長さの １３ になります。
ですから、
１＋３＋８＝１３−１
フィボナッチ数 １，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，（５５）
についても同じようにしてやれば、
１＋３＋８＋２１＝３４−１
となります。
つまり、
偶数番目のフィボナッチ数をじゅんにたすと、最後の次の数から１ひいたもの
になるのですね。
● フィボナッチ数の性質（４） ●
今度は、ちょっとだけむずかしい（？）こんなことを考えます。
フィボナッチ数 １，１，２，３，５，８
について、じつはこんなことも知られています。
（ほかにもずいぶんいろいろ研究されているらしいのですが・・・。）
まず、最初の３つの １，１，２ について、
外２つをかけたのから中の２乗をひいてみます。
１×２−１２＝１
おなじようにして、次の３つの １，２，３ についてやってみます。
１×３−２２＝−１
おなじようにして、
２×５−３２＝１
３×８−５２＝−１
どうも、たがいちがいに １ と −１ がでてくるようです。
では、このことを見てみましょう。
＜ １×３−２２＝−１ ＞
面積で考えるのです。
ポイントは、２つの図形の面積のちがいは
それぞれに等しい面積をつけくわえてもかわらないってことです。
上の左の図で、
１×２ は 黄色い長方形の面積です。
１２ は 黄色い正方形の面積です。
まず、
１×２−１２＝１
は、（ちょくせつ）計算しておきます。
両方に、青い長方形の面積 １×２ をたします。
１×２−１２ ＝ １×２＋１×２−（１２＋１×２）
＝ （１＋１）×２ − １×（１＋２）
＝ ２×２ − １×３
＝ ２２ − １×３
そうすると、今度は上の右の図で、
２２ は 黄色い正方形の面積です。
１×３ は 黄色い長方形の面積です。
ここで、
１×２−１２ は長方形から正方形をひいたもの
２２ −１×３ は正方形から長方形をひいたもの
というふうに、正方形と長方形が入れかわることに注意してください。
けっきょく、
１×２−１２ ＝ ２２−１×３
となりましたね。ですから、
１ ＝ ２２−１×３
つまり、
１×３−２２＝−１
＜ ２×５−３２＝１ ＞
どんどん、やってみましょう。
上の図から、同じようにして、
１×３−２２ ＝ ３２ −２×５
−１ ＝ ３２ −２×５
これより、
２×５−３２ ＝ １
＜ ３×８−５２＝−１ ＞
これも、同じようにやれますね。
けっきょく、次々にやっていけば
３つ続いたフィボナッチ数の、外２つをかけたものから中の２乗をひくと、
（かわりばんこに） １ か −１
になるのですね。
＜ 行列式 ＞
行列式を知っているって人は、いまやっていたことはこんなことですね。
（じつは、フィボナッチ数の一般項やこの性質は、
大学でお勉強する「線形代数」っていう一般論からでてくるのです・・・。）
｜１ １｜ ｜１＋１ １｜ ｜２ １｜ ｜１ ２｜
｜ ｜ ＝ ｜ ｜ ＝
｜ ｜ ＝ − ｜ ｜
｜１ ２｜ ｜１＋２ ２｜ ｜３ ２｜ ｜２ ３｜
｜１ ２｜ ｜１＋２ ２｜ ｜３ ２｜ ｜２ ３｜
｜ ｜ ＝ ｜ ｜ ＝
｜ ｜ ＝ − ｜ ｜
｜２ ３｜ ｜２＋３ ３｜ ｜５ ３｜ ｜３ ５｜
｜２ ３｜ ｜２＋３ ３｜ ｜５ ３｜ ｜３ ５｜
｜ ｜ ＝ ｜ ｜ ＝
｜ ｜ ＝ − ｜ ｜
｜３ ５｜ ｜３＋５ ５｜ ｜８ ５｜ ｜５ ８｜
● フィボナッチ数列の一般項 ●
フィボナッチ数というのは、こんな数でしたね。
１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，・・・
数がずら〜っと列をなしてならんでいるので（？）、こういうのを数列っていうのです。
そして、このフィボナッチ数列のようにきそく正しい数列は、
あてはめるだけでパッと答えがでてくるという、公式のようなものをさがそうとするのです。
そんな公式は、次のような式で知られています。
１ ｎ
ｎ
Fｎ ＝ /５ （α − β ） ・・・ （１）
ここで、αとβは、黄金数をもとめた２次方程式（４）の正の解と負の解です。
＜お勉強＞の「黄金数」でやったことをもう一度かくと、
１
X ＝ １ ＋ X ・・・ （２）
X２ ＝ X ＋ １ ・・・ （３）
X２ − X − １ ＝ ０ ・・・ （４）
この２次方程式を解くと
１＋/５ １−/５
X＝ ２ ， ２
ですから、
１＋/５ １−/５
α＝ ２ ， β＝ ２
この公式のｎに何番目かを入れてやると、パッとフィボナッチ数がでてくるはずです。
（といっても、３乗や４乗してたしかめてみたくはありませんよね・・・）
ｎ＝１ を入れると F１＝１
ｎ＝２ を入れると F２＝１
ｎ＝３ を入れると F３＝２
ｎ＝４ を入れると F４＝３
ｎ＝５ を入れると F５＝５
ｎ＝６ を入れると F６＝８
じつは、このようなお話は
高校では「漸化式」のところで、大学では「線形代数」でやるようなお話ですが、
今回は何も使わないでやりましょう。
● 黄金数でフィボナッチ数列 ●
フィボナッチ数
１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，・・・
はこんなふうにして出していきましたね。
１
１
１＋１＝２
２＋１＝３
３＋２＝５
５＋３＝８
・・・・・・・
そこで、最初２つを １，１ でなくて、
１，α から始めて同じように数列をつくっていきます。
１
α
α＋１＝？
さあ、ここで α＋１＝？ は何でしょう。
α が ２次方程式（３）の解ということは
α２ ＝ α ＋ １ ・・・ （５）
ということですから、α＋１＝α２ です。
では、その次の α２＋α＝？ は何でしょう。
（５）の両辺に αをかければ
α３ ＝ α２ ＋ α ・・・ （６）
ですから、α２＋α＝α３ となります。
つまり、こうなります。
１
α
α＋１＝α２
α２＋α＝α３
α３＋α２＝α４
α４＋α３＝α５
・・・・・・・
そうすると、黄金数版フィボナッチ数列（こんな言葉はありませんのでご注意）は、
こんなふうになります。
１，α，α２ ，α３ ，α４ ，α５ ，・・・・・
もうひとつの解の β についてもおなじようにして
１，β，β２ ，β３ ，β４ ，β５ ，・・・・・
となります。
ここで、この２つの数 α，β については、何番目の数でも
パッとだせる公式をつくるのはかんたんですね。
そこで、フィボナッチ数をこの２つの数 α，β を使って
どうかけるかを考えていくのです。
● フィボナッチ数とリュカ数 ●
さあ、今度はじっさいに
１，α，α２ ，α３ ，α４ ，α５ ，・・・・・
１，β，β２ ，β３ ，β４ ，β５ ，・・・・・
を計算してみましょう。
えっ、３乗や４乗なんてしたくない？
だいじょうぶ！だいじょうぶ！
そのために（？）、α＋１＝α２ ，α２＋α＝α３ があるのです。
α０＝１
１＋１/５
α ＝ ２
２ １＋１/５ １＋１/５ ２ ３＋１/５
α ＝ ２ ＋ １ ＝ ２ ＋ ２ ＝ ２
３ ３＋１/５ １＋１/５ ４＋２/５
α ＝ ２ ＋ ２ ＝ ２
４ ４＋２/５ ３＋１/５ ７＋３/５
α ＝ ２ ＋ ２ ＝ ２
５ ７＋３/５ ４＋２/５ １１＋５/５
α ＝ ２ ＋ ２ ＝ ２ ・・・ （７）
ここで、/５ にかけてある数 １，１，２，３，５ は
フィボナッチ数であることに気づきますね。
ちなみに、１，３，４，７，１１ も １ と ３ から始めて
フィボナッチ数と同じようにつくられていますね。
こちらの方は、リュカ数とよばれています。
さて、今度は β についても同じようにやってみましょう。
β０＝１
１−１/５
β ＝ ２
２ １−１/５ １−１/５ ２ ３−１/５
β ＝ ２ ＋ １ ＝ ２ ＋ ２ ＝ ２
３ ３−１/５ １−１/５ ４−２/５
β ＝ ２ ＋ ２ ＝ ２
４ ４−２/５ ３−１/５ ７−３/５
β ＝ ２ ＋ ２ ＝ ２
５ ７−３/５ ４−２/５ １１−５/５
β ＝ ２ ＋ ２ ＝ ２ ・・・ （８）
さて、ここでたとえば ５番目のフィボナッチ数 F５＝５ をだしたいとします。
（７）と（８）の式をひいてみると
５ ５ １１＋５/５ １１−５/５
α − β ＝ ２ − ２ ＝ ５/５
これより
１ ５ ５
/５ （α − β ） ＝ ５
とでます。ほかも同じようにしてでますね。
ちなみに、リュカ数の方はもっとかんたんで
５ ５ １１＋５/５ １１−５/５
α ＋ β ＝ ２ ＋ ２ ＝ １１
のようにして、たすだけででますね。
フィボナッチ数は、自然の中にずいぶんと見られるそうです。
ぜひ、調べてみてください。
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小林吹代
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