補数
● 補数って何？ ●
１０年以上前、こんな質問を受けました。
「補数（ほすう）って何ですか？」
どうも、コンピュータ関係で出てくるらしいのです。
「・・・・・」
ぎゃくに、補数ってどんなものか教えてもらうことになってしまいました。
こういうことでした。
２進法のお話です。
（２進法について知らない人は、
＜お勉強＞の「１０００−１」と「０．９９９・・・＝１」を読んでね。）
たとえば 「０１１０」 なら こうするというのです。
「１」 と 「０」 を反対にします。
そうすると、「１００１」になります。
それに 「１」 をたします。
そうすると 「１０１０」になります。
このとき、「１０１０」をもとの「０１１０」の補数というらしいのです。
それで、なんでこんなことするの？
そもそも、こんなことして出てくる補数って何？
ということでした。
せめてその時、これは負の数をあらわすのに使うんだよ
といってくれたらピンときたと思うのですが・・・。
● 負の数 ●
小学校で習いました。
たし算は入れかえてもいいけど、ひき算は入れかえられない。
２＋３ は ３＋２ としてもいい
２−３ は ３−２ としてはだめ
これって、とっても不便（ふべん）ですね。
そこで、中学校からはこうなりました。
そのままいれかえてはだめだけど、符号（＋や−）をつけてなら入れかえてもいい。
２＋３ は ＋２ と ＋３ で 入れかえると ＋３＋２
２−３ は ＋２ と −３ で 入れかえると −３＋２
これを使って、こんな計算はかんたんにできました。
７−４＋３−６ ＝ ＋７＋３−４−６
＝ ＋１０−１０
＝ ０
こうしたのです。
７−４＋３−６ は ＋７ と −４ と ＋３ と −６ です。
入れかえて プラス と マイナス を集めます。
＋７ と ＋３ を集め −４ と −６ を集めます。
それぞれ計算してから答えをだしました。
それで〜？いったい何がいいたいの？
負の数を作り出したことで、ひき算がたし算になって
とっても便利になったな〜ってことです。
おまけに、５たりない数を −５ ってあらわしたのは、大けっ作！！
ひき算の − と 負の数をあらわす符号の − が同じで、
これをごちゃまぜにして使っていいのですから・・・。
えっ、何一人で感心しているかって？
こういうことです。
５たりない数って、何にたりないかというと、もちろん ０ にです。
そして、 ５ に −５ を補（おぎな）うと ０ になります。
５ ＋ （−５） ＝ ０
べつに、ほかのあらわし方をしてもよかったのです。
５ ＋ □ ＝ ０
この □ の数を ＊５ ってあらわそうが、＠５ ってあらわそうが
どうでもよかったのです。
でもこれを −５ ってあらわしたのは すばらしかった！！
と、感心しているのです。
ところで、補集合（ほしゅうごう）って知っていますか。
集合A ではたりないので、補（おぎな）う集合、これが補集合A です。
何にたりないかって？
それは全体集合にです。
集合A に その補集合A を補（おぎな）うと 全体集合 になります。
さて、それでは、補数っていったい何を補（おぎな）っているの？
いったい何にたりないの？
● ０（ゼロ） ●
このホームページのアクセスカウンタをみましたか？
えっ、訪問者が少ないって？
そりゃ、まだ作り始めてから２ヶ月しかたっていないし・・・。
それに、コンテンツが１つ２つしかないうちからUPしてしまったから・・・。
と、苦しい言い訳はどうでもよいとして、
これ ９９９９９ 人をオーバーしたらどうなるのでしょう？
９９９９９
＋） １
１０００００
この １０００００ の １ は オーバーフローしてしまいます。
５けたしか入らないところに ６けたも入れようというのはむりです。
ですから、９９９９９ の次の人は、きっと ０００００ になるでしょう。
（そんな日は 永遠にやってこない予定・・・?）
家の方で、車の運転をする人がいたら、聞いてみてください。
走行距離が、１０万キロメートルをオーバーすると、どうなるかって・・・。
さて、さんすう・数学では ０ は ０ しかありません。
それも、「０の発見」は大発見（大発明）でした。
でも、コンピュータにとって ０ は ０００００ のことで、
１０００００ も ０００００ で やっぱり ０ なのです。
● ひき算 ●
ひき算はとくいですか？
だいたいの人は、きらいですね。
それも、くりさがりのあるひき算は、いやなものです。
今回は、１００００円札をだしていくらおつりをもらうか、
つまり、１００００ からひく ひき算をやります。
ためしに、 １００００−１２３４ をやってみましょう。
１００００
−） １２３４
８７６６
これを、こんなふうにやってみます。
１００００ は ９９９９＋１ だから、９９９９ からひいておいて、後で １ たすのです。
９９９９ ８７６５
−） １２３４ ＋） １
８７６５ ８７６６
今回は、くりさがりのあるひき算でないので、ちょっぴり楽でしたね。
（でも、あとで １ たすのをわすれると大変です。）
さて、ここで ＜お勉強＞の「１０００−１」 を思い出してください。
１０進数では、
１０−１＝９
１００−１＝９９
１０００−１＝９９９
１００００−１＝９９９９
２進数では、
（１０）２
−（１）２＝（１）２
（１００）２
−（１）２＝（１１）２
（１０００）２
−（１）２＝（１１１）２
（１００００）２
−（１）２＝（１１１１）２
そこで、ためしに （１００００）２
−（０１１０）２
をやってみます。
ただし、今度はとなりから １０ かりてくるのではなく ２ かりてきます。
（１００００）２
−） （０１１０）２
（１０１０）２
できましたか？
これを、１０進数のときと同じようにしてやると、次のようになります。
（１１１１）２ （１００１）２
−） （０１１０）２ ＋）
（１）２
（１００１）２ （１０１０）２
ここで、（１１１１）２ からひくひき算で、
ひいた答えの （１００１）２ は、ひく数 （０１１０）２ の
「１」 と 「０」 を反対にしたもの （１と０の反転）
になっていることに注意してください。
そして、それに 「１」 をたして 答をだしました。
さあ、ここで最初のぎもんにもどりましょう。
こうでしたね。
「０１１０」 の 補数 はこういうものでした。
「１」 と 「０」 を反対にします。
そうすると、「１００１」になります。
それに 「１」 をたします。
そうすると 「１０１０」になります。
このとき、「１０１０」をもとの「０１１０」の補数といいます。
それで、なんでこんなことするの？
そもそも、こんなことして出てくる補数って何？ということでした。
これまでで、（１００００）２
−（０１１０）２ の答えとわかりました。
つまり、
（１００００）２ −（０１１０）２ ＝ （１０１０）２
さらに、ひき算のたしかめはたし算で・・・ということで、これは
（０１１０）２ ＋ （１０１０）２ ＝ （１００００）２
となります。
ところが、（１００００）２ の １ は オーバーフローして
じっさいは （００００）２ ですから、けっきょく、次のようになりました。
（０１１０）２ ＋ （１０１０）２ ＝ （００００）２
これって、
（０１１０）２ ＋ □ ＝ （００００）２
の □ にあてはまる数が （１０１０）２ だということです。
つまり、負の数です。
（０１１０）２ は ６ ですから、 −６ にあたる数が （１０１０）２ だということです。
● 整数 ●
２進法で、正の整数と負の整数をあらわしてみましょう。
お話を ４けた ですすめましょう。
１０進法の ０ は ２進法の （００００）２
１０進法の １ は ２進法の （０００１）２
１０進法の ２ は ２進法の （００１０）２
１０進法の ３ は ２進法の （００１１）２
１０進法の ４ は ２進法の （０１００）２
１０進法の ５ は ２進法の （０１０１）２
１０進法の ６ は ２進法の （０１１０）２
１０進法の ７ は ２進法の （０１１１）２
今度は、負の数です。
１０進法の −１ は ２進法の （０００１）２ の補数で （１１１１）２
【求め方】 （０００１）２ −−＞ （１１１０）２ −−＞ （１１１１）２
１０進法の −２ は ２進法の （００１０）２ の補数で （１１１０）２
【求め方】 （００１０）２ −−＞ （１１０１）２ −−＞ （１１１０）２
１０進法の −３ は ２進法の （００１１）２ の補数で （１１０１）２
【求め方】 （００１１）２ −−＞ （１１００）２ −−＞ （１１０１）２
１０進法の −４ は ２進法の （０１００）２ の補数で （１１００）２
【求め方】 （０１００）２ −−＞ （１０１１）２ −−＞ （１１００）２
１０進法の −５ は ２進法の （０１０１）２ の補数で （１０１１）２
【求め方】 （０１０１）２ −−＞ （１０１０）２ −−＞ （１０１１）２
１０進法の −６ は ２進法の （０１１０）２ の補数で （１０１０）２
【求め方】 （０１１０）２ −−＞ （１００１）２ −−＞ （１０１０）２
１０進法の −７ は ２進法の （０１１１）２ の補数で （１００１）２
【求め方】 （０１１１）２ −−＞ （１０００）２ −−＞ （１００１）２
もう一度まとめましょう。（４けたであらわす場合です。）
０ は （００００）２
１ は （０００１）２ −１ は （１１１１）２
２ は （００１０）２ −２ は （１１１０）２
３ は （００１１）２ −３ は （１１０１）２
４ は （０１００）２ −４ は （１１００）２
５ は （０１０１）２ −５ は （１０１１）２
６ は （０１１０）２ −６ は （１０１０）２
７ は （０１１１）２ −７ は （１００１）２
さて、４けたであらわせる数がもうひとつあります。
そう、（１０００）２ です。
これは何にしたらよいでしょうか。
一番上の位の数が １ ですから、負の数です。
そして、１１１、１１０、１０１、１００、０１１、０１０、００１ の次ですから・・・。
そうですね。
−７ の もうひとつ下 つまり −８ にするとよさそうです。
そうすると、４けたで整数をあらわそうとすると、
−８ から ＋７ まで
の数があらわせます。
プログラムをくむとき、変数という入れ物を使います。
そして、その変数という入れ物には、大きさだけでなく、
中に入れる数によって、いろいろな種類（型）があります。
正の整数だけを入れるとか、（正負の）整数を入れるとか、小数を入れるとか・・・。
（正負の）整数を入れる変数の型で、
マイナスいくらからプラスいくらまでの数を入れられるのか、
一度じっくり見てみてください。
たとえば、Ｃ言語では次のようになっています。
ｃｈａｒ は ８けたで −１２８ 〜 ＋１２７
ｓｈｏｒｔ は １６けたで −３２７６８ 〜 ＋３２７６７
ｌｏｎｇ は ３２けたで −２１４７４８３６４８ 〜 ＋２１４７４８３６４７
＋と−の後に続く数（絶対値）が １ ちがっていますね。
（あまりにも、こまかい話ですが・・・）
最後に、コンピュータは、ひき算はたし算でやるのです。
もう、どうするのかわかった人もいますね。
できたら、また今度お話するかも・・・。
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小林吹代
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