リーグ戦
● 交点の個数 ●
トーナメント戦のところで、
数をかぞえる時に大切なことをやりましたね。
それは、
「数え落としをしない」ということと
「おなじものを、二度かぞえない」ということでした。
そんなのもう分かった、
と思っていませんか。
では、こんなのかぞえられるかな？
図を見てください。
直線が６本あります。
これらの直線は、どの２本も平行ではなく、
どの３本（以上）も１点では交わっていないものとします。
つまり、下の図のようになっていないものとします。
交点がいくつあるか数えてみましょう。
−−− 全部で １５個 です。
● 直線はまっすぐ？ ●
では、直線が １００本 だったら、交点はいくつになるかな？
うわっ、とっても描けそうにない・・・
なんて思っていませんか。
ちょっと待って！
いま大事なことは、交点の数をかぞえることで
直線を描くことではありませんよ。
ということは・・・・・？
直線は、どの２本も平行ではなく、
どの３本（以上）も１点では交わっていない
というのは、交点の個数に関係するので大事だけれど、
直線はまっすぐである、なんてことは
数をかぞえるときはどうでもいいってこと。
こういう考え方って、さんすう・数学ではとっても大切なこと。
では直線が６本の場合で、もう一度図を描いてみましょう。
ずいぶんすっきりしましたね。
● 三角数 ●
ここに現れた交点の個数は、三角数として知られているものです。
下が、１番目の三角数から５番目の三角数までです。
１番目 の三角数は １
２番目 の三角数は ３
３番目 の三角数は ６
４番目 の三角数は １０
５番目 の三角数は １５
５番目の三角数が、直線が６本の場合の交点の個数 １５ でした。
そして、９９番目の三角数が、直線が１００本の場合の交点の個数です。
さて、どうやってかぞえましょうか。
長方形ならかぞえやすいのに、三角形はちょっと・・・。
そこで思い出すのが、三角形の面積の公式です。
（三角形の面積）＝（たて）×（よこ）÷２
ここで、（たて）×（よこ）は長方形の面積です。
つまり、三角形の面積は長方形の面積の半分と考えたのです。
思いだしましたか？
三角数もこの作戦でやってみましょう。
（三角数）＝（たて）×（よこ）÷２
ここで、（よこ）は（たて）より１個多いので
（○番目の三角数）＝（○）×（○＋１）÷２
いよいよ、９９番目の三角数をもとめましょう。
（９９番目の三角数）＝（９９）×（９９＋１）÷２
＝９９００÷２
＝４９５０
１００本の直線の交点の個数は ４９５０個 でした。
これでおしまい・・・のはずありませんね。
（まだ、リーグ戦が出てきてないから・・・？）
ここまでは数をかぞえるとき大切な（大切でない）こととして
関係ないことは、バッサリきりすてる
ということをやってきました。たとえば、
直線はまっすぐである
ということはど〜でもよいことでした。
● ふたご（双対） ●
さて、今度は問題そのものをちょっとおきかえてみましょう。
たとえば、直線を点に、点を直線におきかえると
どうなるでしょうか。
点が６個あります。
どの３点（以上）も一直線上にはないことにします。
といってもややこしいので、あっさり正六角形の頂点ということにしましょう。
さて、頂点どうしをむすんでできる直線は何本あるかな？
順番にかぞえていきましょう。
１つの頂点から自分以外の（６−１）個の頂点とむすんでできる
直線が ６−１＝５ 本 あります。
１つの頂点から５本
おなじようにして ６個の頂点全部についてかぞえていくと
どうなるでしょうか。
１つの頂点から５本
５（本）×６＝３０（本） ではありません！
どの直線も２度かぞえてしまいますから
２でわるとほんとうの数がでてきます。
５（本）×６÷２＝１５（本）
正１００角形ならば次のようになります。
（１００−１）×１００÷２＝４９５０
さて、数をかぞえるとき大切なことは、
「数え落としをしない」ということと
「おなじものを、二度かぞえない」ということでした。
でも、どれも２度かぞえたら、２でわればよいし、
どれも３度かぞえたら、３でわればよいのです。
● リーグ戦 ●
最後に、リーグ戦（総当たり戦）もこのおきかえになっています。
今度は、直線をチームに、点を試合におきかえます。
直線が６本は チームが６つ におきかえると
交点はいくつあるか というのは 試合はいくつあるかにおきかわります。
直線は、どの２本も平行ではなく、
どの３本（以上）も１点では交わっていない
これは、どの２つのチームも試合をする、（それが総当たり戦よ〜）
どの３つ（以上）のチームも１度に試合をしない、
（３つのチームでいっぺんにやるゲームがあったら教えてほしいわ〜
バレーボール、サッカー、バスケット・・・どれも２つのチームで戦う）
ということ。
６つのチームを１、２、３、４、５、６ とすると、試合は
（１ 対 ２） （１ 対 ３） （１ 対 ４） （１ 対 ５） （１ 対 ６）
（２ 対 ３） （２ 対 ４） （２ 対 ５） （２ 対 ６）
（３ 対 ４） （３ 対 ５） （３ 対 ６）
（４ 対 ５） （４ 対 ６）
（５ 対 ６）
の １５試合 になります。
（１ 対 ２） などを ● におきかえると
● ● ● ● ●
● ● ● ●
● ● ●
● ●
●
となって、見るからに三角数（のさかさま）ですね。
● おわりに ●
高校では
・ ６本の直線の交点の数
・ 正六角形の頂点をむすんだ直線の数
・ ６チームでリーグ戦をしたときの試合の数
は、どれも 「６つ の中から ２つ 選ぶ」 数ということで
６Ｃ２
とあらわします。そして、
６Ｃ２ ＝１５
ともとめますが、このときのもとめ方が
どれも２度かぞえたら、２でわればよいし、
どれも３度かぞえたら、３でわればよい
ということを使っています。
このことに関連したおもしろいお話がありますのでお楽しみに！
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小林吹代
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