メビウスの帯

●　結晶で「メビウスの帯」　●

　さいきん、こんな記事を新聞でみかけました。

世界初、結晶で「メビウスの帯」

　それは、こんな内容（ないよう）でした。

　結晶（けっしょう）は細長くはできても、
まげたりねじったりするのは不可能（ふかのう）だと思われていたそうです。

　その不可能だと思われていたことを、やってのけたというのです。

　むずかしいことはぬきにすると、こんなことらしいのです。

　もちろん、そんなにかんたんなはずがありません。

　まず、帯のような細長い結晶というのは、
とじた石英管の中で、セレンとニオブを約７４０度に加熱して作った、
「３セレン化ニオブ」の結晶で、うすくてまげやすいものだそうです。

　しんとなる球状のものは、管内で温度差をつけて作った「セレン」滴だそうです。

　まきつかせるには、表面張力（ひょうめんちょうりょく）を利用したそうです。

　それで、どうやって１８０度ねじったかって？
　どうやって、そのあと、しんの「セレン」滴をとりのぞいたかって？

　もちろん（！）、わたしにはさいしょっから、なにがなんだかかさっぱり・・・。

　・・・ということで、これは北海道大学工学部の
丹田聡助教授（固体物理学）らの研究グループの成果だということですから、
くわしくは、そちらへ・・・。

●　０回ねじりの輪　●

　さて、それではいよいよ（？）さんすう・数学のお勉強です。

　今回は、もしかしたら、
小学生どころか、保育園（ほいくえん）の子どもさんでもだいじょうぶかも・・・。

　こんどの七夕（たなばた）かざりに、ピッタリかもしれませんね。

　それでは、できたら表（おもて）と裏（うら）の色がちがう
紙テープを用意してください。

　ふつうのメビウスの帯だけなら、１回しかねじらないのでいいのですか、
なんてったって、このホームページは、そこでおわるはずがありません（？）

　何回ねじったかよくわかるように、
・・・というよりは、できあがったときのみばえというのがありますからね。

　それで、さいしょから、
表（おもて）と裏（うら）の色をちがわせておくといいのでは・・・
というだけのことです。

＜０回＞

　では、まずは０回ねじりです。

　はやい話が、ふつうの輪（わ）です。

　そのままねじらずに、ＡはＣと、ＢはＤとくっつけます。

　もちろん、まん中をず〜っと１まわりすると、
ちゃんと表だけ通って、もとのところへもどれます。

　そして、そのたどったところ、
つまり、まん中をはさみで切っていくと、ちゃんと２つの輪ができます。

　立体のままでは、わかりにくいので、
折り紙（おりがみ）のように、ぺったんこにおりまげて作ってみましょう。

　それを、色紙（しきし）にはりつけて、額（がく）に入れ、
芸術作品（？）として、かざってみるのもすてきですね。

　でも、もちろん、０回ねじって０角形・・・なんて、作れるはずもありません。

　そこで、とりあえず４角形にして、
上にねじったら１回、下にねじったら−１回とかぞえることにします。

　左下から時計回り（とけいまわり）にかぞえると、

　　　　　１＋（−１）＋（−１）＋１＝０

　これぞ０回ねじり・・・といえなくもなさそうですね。

　もちろん、おりまげ方はいろいろあります。

　たとえば、

　　　　　１＋（−１）＋１＋（−１）＝０

　ですから、この計算にあったおりまげ方というのもありますよね。

　さて、これをまん中で切っていくと、こうなります。

　どうということもない、おなじく０回ねじりの輪が２つです。

●　メビウスの帯　●

＜１回＞

　では、次は１回ねじりです。

　これが、かの有名なメビウスの帯です。

　ねじるときは、右ねじりか左ねじりかをきめておくといいですね。

　さあ、１回ねじって、ＡはＤと、ＢはＣとくっつけます。

　もちろん、１回ねじって１角形・・・なんて、作れるはずもありません。

　そこで、とりあえず３角形にして、おなじように
上にねじったら１回、下にねじったら−１回とかぞえることにします。

　　　　　１＋（−１）＋１＝１

　今度は、まん中をず〜っと１まわり（表と裏で２まわり？）すると、
表も裏も全部通って・・・というよりは、表も裏もくべつできなくなって、
もとのところへもどれます。

　ですから、そのたどったところ、
つまりまん中をはさみで切ると、今度は１つの輪ができます。

　さて、それでは、これは何回ねじりの輪でしょうか。

　４回ねじっていますから、４回ねじりの輪ですね。

　ちなみに、左の図も右の図も色のつけ方がちがうだけで、
図形としては同じですね。

●　メビウス風の帯　●

＜２回＞

　ふつうのお話では、メビウスの帯を２つに切ってできた輪を
さらにまん中で切ってみますね。

　つまり、４回ねじりの輪を切るのです。

　でも、お話の順番（じゅんばん）といたしましては、
その前に、２回ねじり、３回ねじりですよね〜！

　・・・ということで、つぎは２回ねじりの輪といきましょう。

　とくに名前はないので、
まとめてメビウス風の帯とでもよぶといいですね。

　さあ、２回ねじって、ＡはＣと、ＢはＤとくっつけます。

　表は表と、裏は裏とくっつけることになります。

　もちろん、２回ねじって２角形・・・なんて、作れるはずもありません。

　そこで、とりあえず４角形にして、おなじように
上にねじったら１回、下にねじったら−１回とかぞえることにします。

　　　　　１＋（−１）＋１＋１＝２

　さあ、これをまん中で切っていくとどうなるでしょうか。

　どうということもない、おなじく２回ねじりの輪が２つです・・・とはいかなくって、
その２つの輪が、結ばれてしまっているのです。

　ちなみに、これは「結び目（むすびめ）」とはいわずに、
「絡み目（からみめ）」といいます。

　これは、２本の２回ねじりの輪が、からんでいるのですね。

＜３回＞

　こんどは、３回ねじりの輪です。

　３回ねじって、表は裏と、裏は表とくっつけます。

　こんどは、３回ねじって３角形が・・・、ちゃ〜んと作れます。
　（ああ、よかった！）

　さあ、これをまん中を切っていくとどうなるでしょう。

　やっぱり、１本のつながった輪に、なることはなるのですが・・・。

　この１本のつながった輪は、どんなものでしょうか。

　じつは、６回ねじりのたんじゅんな輪・・・ではなくって、
「結び目（むすびめ）」があるのです。

　まん中にできたこの結び目は、「三つ葉結び目」とよばれているものです。

三つ葉結び目

＜４回＞

　こんどは、４回ねじりの輪です。

　４回ねじって、表は表と、裏は裏とくっつけます。

　こんども、４回ねじって４角形が・・・、ちゃ〜んと作れます。

　さあ、これをまん中で切っていくとどうなるでしょう。

　やっぱり、４回ねじりの輪が２つです・・・とはいかなくって、
その２つの輪が、２回もからんでしまっているのです。

＜５回＞

　いよいよ５角形です。

　このホームページでは、おなじみの５角形です。

　わくわく、どきどきですね（？）

　さあ、奇数回（きすうかい）ねじるのですから、
表と裏、裏と表をくっつけることになります。

　表と裏をくっつけたのですから、
これをまん中で切っていくと、つながった輪ができそうです。

　さあ、どうでしょう。

　やっぱり、まん中に、しっかり「結び目」ができていますね。

　「五つ葉結び目」とはいわないのかもしれませんが・・・。

　この図形は・・・

　そう、あのペンタグラムです。

　あのピタゴラス教団のシンボルマークです。
　（ちょっと角がとれていますが・・・）

＜６回＞

　こんどは、６回ねじりの輪です。

　６回ねじって、表は表と、裏は裏とくっつけます。

　さあ、これをまん中で切っていくとどうなるでしょう。

　もちろん、６回ねじりの輪が２つです・・・とはいかなくって、
その２つの輪が、３回もからんでしまっているのです。

●　表と裏　●

　こうやってみていくと、

　　　　　０回、２回、４回、６回

のような偶数回（ぐうすうかい）と、

　　　　　１回、３回、５回

のような奇数回（きすうかい）では、
ずいぶんちがっていますね。

　偶数回では、まん中で切っていくと

　　　　　からみあった２本の輪　（ただし、０回ねじりはからみあわない）

　奇数回では、まん中で切っていくと

　　　　　結び目のある１本の輪　（ただし、１回ねじりは結び目がない）

になります。

　どうして、偶数回と奇数回で、こうもかわってくるのかは、
けんとうがつきますね。

　だって、そもそも、偶数回では表と表、裏と裏をくっつけ、
奇数回では表と裏、裏と表をくっつけたのですから・・・。

　ところで、さんすう・数学では
ややこしいものを、よりかんたんなものにしようという方が、ふつうです。

　ややこしいもの・・・
それは、切っていってできた、「結び目」や「絡み目」のある方です。

　よりかんたんなもの・・・
それは、切るまえの方です。

　それなら、かんたんにするには、
はんたいに、セロテープでくっつけていけばいいはずですよね。

　でも、これって、りくつはそうでも、
じっさいに、やってみようとは・・・。

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