パスカルの三角形
● 和の法則 ●
まわり道しないで、左下から右上までいく道順（みちじゅん）は何通り？
そう、６通りですね。
では、下の図では何通りかな？
高校生なら、ワンパターンで（？）パッと答えをだすかもしれませんね。
でも、こんなの小学生だってできるのです。
といっても、ちょくせつ数えるのはたいへんです。
そういうときは、ちょっとかんたんな場合でやってみるのです。
下の図で、？ は何通りかと考えてみます。
６ というのは、そこまでいく道順は６通りということで、
これはさっきやりましたね。
４ というのも数えてあったとしましょう。
そうすると、？ に行くには、どちらかを通らないといけませんから、
（左から右へ行く）こんな図と同じことですね。
これなら、
６＋４＝１０
で、あわせて １０通り です。
たし算の答えのことを和（わ）というので、和の法則とよばれています。
そうすると、左下の １ から どんどんたしていけば、
数えまちがわずに（たし算をまちがえなければ）答えがでますね。
どうなりましたか。
ちゃんと、３４３２通り とでましたか。
（高校ではもっとうまく数える方法を勉強しますよ。）
さて、この表のななめの数をたしてみましょう。
１＝２０
１＋１＝２１
１＋２＋１＝２２
１＋３＋３＋１＝２３
１＋４＋６＋４＋１＝２４
１＋５＋１０＋１０＋５＋１＝２５
いつも、２を何回かかけた数になっています。
こうなるわけがわかりますか。
それは、たとえば
１＋３＋３＋１＝２３
というのは、（小さい正方形の一辺を１歩とすれば）
３歩でいけるところを数えているだけなのです。
それは、図でいうと １，３，３，１ のところに行く方法ですから、
１＋３＋３＋１ （通り）
でも、１歩ごとに上へ行こうか右に行こうかと考えれば
２×２×２＝２３ （通り）
となるからです。
こちらは、かけ算の答えのことを積（せき）というので、積の法則とよばれています。
● パスカルの三角形 ●
いままで考えてきた道順の数（とその出し方）は、
パスカルの三角形として、とっても有名です。
ただし、三角形というくらいですから、（このままではパスカルの正方形！？）
ちょっと回転（かいてん）させるのです。
では、パスカルの三角形をきちんとかいてみましょう。
１
１ １
１ ２ １
１ ３ ３ １
１ ４ ６ ４ １
１ ５ １０ １０ ５ １
さて、２項定理でこれらの数が出てくるのが、とっても有名です。
こんなことでしたね。
（ａ＋ｂ）０ ＝ １
（ａ＋ｂ）１ ＝ １ａ ＋ １ｂ
（ａ＋ｂ）２ ＝ １ａ２ ＋ ２ａｂ ＋ １ｂ２
（ａ＋ｂ）３ ＝ １ａ３ ＋ ３ａ２ｂ ＋ ３ａｂ２ ＋ １ｂ３
（ａ＋ｂ）４ ＝ １ａ４ ＋ ４ａ３ｂ ＋ ６ａ２ｂ２ ＋ ４ａｂ３ ＋ １ｂ４
（ａ＋ｂ）５ ＝ １ａ５ ＋ ５ａ４ｂ ＋ １０ａ３ｂ２ ＋ １０ａ２ｂ３ ＋ ５ａｂ４ ＋ １ｂ５
では、どうしてこんなところに道順の数がでてくるのでしょうか。
（ａ＋ｂ）３ ＝ １ａ３ ＋ ３ａ２ｂ ＋ ３ａｂ２ ＋ １ｂ３
で、みていくことにしましょう。
（ａ＋ｂ）３ ＝ （ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ）
これを展開（てんかい）すると、
それぞれの「かっこ」の中からａかｂを取り出してきて、かけたものが出てきます。
ですから、たとえば ａ２ｂ なら、
（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ） の ａａｂ は ａ２ｂ
（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ） の ａｂａ も ａ２ｂ
（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ） の ｂａａ も ａ２ｂ
となって、全部で ３ａ２ｂ が出てきます。
これを、パスカルの三角形（正方形！？）に翻訳（ほんやく）するのに、
ａ というのを 道で上にいくこと
ｂ というのを 道で横にいくこと
と考えると、
（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ）
というのは、１歩ごとに上へ行こうか右に行こうかと考えながら３歩いくことになります。
そこでは、さっきの ａ２ｂ というのは、上に２歩、横に１歩で行く道順で、
具体的には
ａａｂ ，ａｂａ ，ｂａａ
の３通りということになります。
さっきは、かけ算の順番を入れかえるとどれも ａ２ｂ になって、
この３つで３ａ２ｂ が出てきました。
今度は、この３通りのどの行き方も着いた所が同じ場所で、
そこに ３ と書きこんだのです。
この３通りの ３ などを書きならべたのがパスカルの三角形ですから、
二項定理そのものということになるのですね。
● フィボナッチ数 ●
今度は、傾き（かたむき）をちょっとかえたななめの数をたしてみましょう。
１
１
１＋１＝２
１＋２＝３
１＋３＋１＝５
１＋４＋３＝８
１＋５＋６＋１＝１３
１＋６＋１０＋４＝２１
おぼえていますか。
１，１，２，３，５，８，１３，２１
これは、＜お勉強＞の「黄金数」や「フィボナッチ数」でやった
フィボナッチ数ですね。
フィボナッチ数が、このパスカルの三角形（正方形！？）に出てくることは
よく知られています。
図をたどっていくと、
（１以外は）１つ１つが前の数とその前の数をあわせた数になっているのだから
これらをあわせたって、そうなるなって読みとれますね。
前の数とその前の数をあわせた数というと、
そう、フィボナッチ数です。
いちおう計算でたしかめて（？）おきましょう。
（べつに分数の分子を見なくても、その横の筆算だけでいいのですが・・・）
１ １＋１
１＋-- ＝ ------
１ １
１ １＋２ １＋１
１＋------ ＝ -------- ここで ＋） １
１＋１ １＋１ １＋２
１＋１ １＋３＋１ １＋２
１＋------ ＝ -------- ここで ＋） １＋１
１＋２ １＋２ １＋３＋１
１＋２ １＋４＋３ １＋３＋１
１＋-------- ＝ -------- ここで ＋） １＋２
１＋３＋１ １＋３＋１ １＋４＋３
１＋３＋１ １＋５＋６＋１ １＋４＋３
１＋-------- ＝------------ ここで ＋） １＋３＋１
１＋４＋３ １＋４＋３ １＋５＋６＋１
１＋４＋３ １＋６＋１０＋４ １＋５＋６＋１
１＋------------ ＝-------------- ここで ＋） １＋４＋３
１＋５＋６＋１ １＋５＋６＋１ １＋６＋10＋４
● 「階段登り」と「畳敷き」 ●
さて、計算はこのへんにして、
このことを利用したフィボナッチ数の例を紹介（しょうかい）しましょう。
まえにやった
１＋３＋３＋１＝２３
というのは、（小さい正方形の一辺を１歩とすれば）
３歩でいけるところを数えたのでした。
それなら、
１＋３＋１＝５ （ここで ５はフィボナッチ数）
は、何を数えているのでしょうか。
ａａａａ だと 上に４歩ですが、
ａａｂ だと 上に２歩、横に１歩で あわせて ３歩
ｂｂ だと 横にたったの ２歩 です。
でも、もし ｂの１歩 が ａａの２歩 と同じと考えられるようなときには、
ａａａａ は ４歩ですが、
ａａｂ も ｂがａａと同じなら あわせて ４歩
ｂｂ も ｂがａａと同じなら あわせて ４歩 です。
それなら、ｂの１歩 が ａａの２歩 と同じと考えられるようなものには、
どんなものがあるでしょうか。
そのような例として有名なものに
「階段登り（かいだんのぼり）」と「畳敷き（たたみしき）」があります。
＜階段登り＞
階段（かいだん）を、１度に１段か２段で上がる方法は何通り？
といった問題です。
下の図は４段の階段を上がる方法です。
１度に２段上がることを ｂ とすれば、
それは１度に１段上がるのを ａ としたときの ａａ と同じと考えられますから、
まさしくこの例にぴったりです。
（ただし、０段の階段を登る方法は １通り ということにします。）
０段 は １通り
１段 は １通り
２段 は ２通り
３段 は ３通り
４段 は ５通り
といったように フィボナッチ数が出てきます。
＜畳敷き＞
昔は間口の広さにおうじて税金（ぜいきん）がかけられたそうで、
細長い家が多かったとのことです。
それとは、何の関係もないのですが
たたみ１畳の長い方のはばで、どんどん畳（たたみ）をしいていきましょう。
そうしたら、畳のしき方は何通り？
といった問題です。
下の図は、畳の短い方で ４枚分 の長さになったときのしき方です。
横にしてしくのを ｂ とすれば、
それはたてにしてしくのを ａ としたときの ａａ と同じ長さだけ横にのびますから、
まさしくこの例にぴったりです。
（ただし、畳の短い方で０枚分の長さのときのしき方は １通り ということにします。）
０枚分 は １通り
１枚分 は １通り
２枚分 は ２通り
３枚分 は ３通り
４枚分 は ５通り
といったように フィボナッチ数が出てきます。
フィボナッチ数は、自然の中にいっぱい見られるそうですが、
今回はずいぶんと人工的な例になってしまいました。
掲載内容の無断転載、転用、編集を禁じます。(c)
小林吹代
All Rights Reserved, （c）kobayashi fukiyo , 2001