フィボナッチ列（６）
● 「しんぶんし」 ●
「新聞紙（しんぶんし）」って、有名（ゆうめい）ですよね。
そう！
上から読んでも「しんぶんし」
下から読んでも「しんぶんし」
子どものころに、いろいろ見つけてあそびました。
でも、このホームページのように、横書きがふつうになると
右から読んでも「しんぶんし」
左から読んでも「しんぶんし」
ってことになるかもしれませんね。
英語（？）なら、
右から読んでも「SOS」
左から読んでも「SOS」
なんてね。
・・・ということで、今回は、
右から読んでも左から読んでも同じになる、文字列のお話です。
● フィボナッチ列 ●
もちろん、まずはフィボナッチ列です。
フィボナッチ列といっても、いろいろありましたね。
たとえば、基本のフィボナッチ列は、
文字列のたし算からできたフィボナッチ列でした。
（・・・といっても、このホームページの中だけのお話でしたが。）
そこでは、さいしょに、こんなことをみてみました。
それぞれの文字列の中のＳとＬの比（の値）をみたのです。
Ｓ
Ｌ
ＳＬ ・・・ Ｓは１，Ｌは１で １：１ から １/１
ＬＳＬ ・・・ Ｓは１，Ｌは２で １：２ から ２/１
ＳＬＬＳＬ ・・・ Ｓは２，Ｌは３で ２：３ から ３/２
ＬＳＬＳＬＬＳＬ ・・・ Ｓは３，Ｌは５で ３：５ から ５/３
これは、基本のフィボナッチ列だけでなく、
ほかもみんなこうなっていましたね。
（ですから、これをフィボナッチ列のお約束にすればいいですね。
もっとも、今ごろになってフィボナッチ列のお約束をするのも・・・）
ところで、
１/１ 、２/１ 、３/２ 、５/３ 、８/５ ・・・
というのは、黄金数の近似分数（きんじぶんすう）でした。
つまり、１/１ 、２/１ 、３/２ 、５/３ 、８/５ ・・・ は
黄金数にどんどん近づいていったのです。
ちなみに、つぎの近似分数を出すには、分子も分母も、
自分とその前の数をたせばよかったですね。
さて、今回はあらたに「近い」ということにこだわった、
フィボナッチ列を考えてみましょう。
えっ、何に近いのかって？
もちろん「川」にです。
傾き（かたむき）が黄金数の「青い線」を「川」にたとえるなら、
なるべく「川」に近いところを通る
ような行き方を考えようというのです。
そうしたら、それはもちろん
１/１ 、２/１ 、３/２ 、５/３ 、８/５ ・・・
を通りますから、りっぱな（？）フィボナッチ列ですね。
そんな、なるべく「川」に近いところを通るようなフィボナッチ列を、
＜近似（きんじ）＞のフィボナッチ列とでもよぶことにしましょう。
（・・・といっても、またまたこのホームページの中だけのお話ですが。）
● 対称 ●
まずは、＜近似（きんじ）＞のフィボナッチ列が
どんなものになるか見てみましょう。
（ここから、つごうにより「川」を青ではなく黒にしています。
ど〜でもいいようなことですが・・・）
＜ 近似 ＞
なるべく「川」に近いところを通るようなフィボナッチ列は・・・
こんなフィボナッチ列です。
Ｓ
Ｌ
ＬＳ
ＬＳＬ
ＬＳＬＳＬ
ＬＳＬＳＬＬＳＬ
ＬＳＬＳＬＬＳＬＬＳＬＳＬ
ＬＳＬＳＬＬＳＬＬＳＬＳＬLSLLSLSL
ＬＳＬＳＬＬＳＬＬＳＬＳＬLSLLSLSLLSLSLLSLLSLSL
このフィボナッチ列を見ると、何か気づきますね。
そう、「しんぶんし」です！
|
左から読むと・・・ |
右から読むと・・・ |
|
Ｓ Ｌ ＬＳ ＬＳＬ ＬＳＬＳＬ ＬＳＬＳＬＬＳＬ ＬＳＬＳＬＬＳＬＬＳＬＳＬ ＬＳＬＳＬＬＳＬＬＳＬＳＬLSLLSLSL |
Ｓ Ｌ ＳＬ ＬＳＬ ＬＳＬＳＬ ＬＳＬＬＳＬＳＬ ＬＳＬＳＬＬＳＬＬＳＬＳＬ ＬＳＬＳＬＬＳＬＬＳＬＳＬＬＳＬＬＳＬＳＬ
|
だんだん、あとの方になると（・・・というよりは、ずいぶん早めに）
ほぼ「しんぶんし」のようになってきますね。
これって、どうしてでしょうか。
それは、もちろん、１/１ 、２/１ 、３/２ 、５/３ 、８/５ ・・・ が
黄金数にどんどん近づいていくからです。
あとの方になると、もうほとんど「川」のまぢかですから、
スタートとゴールを入れかえて逆向き（ぎゃくむき）に進んでも、
同じようになっているはずです。
つまり、スタートからゴールに向かって進んでも、
ゴールからスタートに向かって進んでも、
同じようになっているはずです。
たとえば、スタートから、
「上右上右上上右上」と「川」に近い所を通るなら、
じゅうぶんあとの方のゴールからなら、
「下左下左下下左下」と「川」に近い所を通るってことです。
もっとも、どこをゴールにするかは大問題です。
だって、スタートとゴールから、まるで鏡を見ているように
「上」なら「下」、「右」なら「左」
といったぐあいに同時に進めてみると、まん中あたりで、のこり、
たて方向に１つで、横方向にも１つ
となってくると、（それは、分子も分母も奇数のときですね）
スタートからは「上」なのに、ゴールからは「左」とか、
スタートからは「右」なのに、ゴールからは「下」とか、
ならざるをえなくなりますからね。
ここまでをまとめると、「近道は対称（たいしょう）を好む」
なんちゃって・・・ね。
（「自然は対称を好む」をもじっただけです。
ちなみに、「近道」というのは、「川」に近いということで、
道のりが短いということではありません。あしからず！）
● 中間近似分数（１） ●
もっといろいろ「近道」をみてみましょう。
（くりかえしますが、「近道」というのは、「川」に近いということで、
道のりが短いということではありません。）
えっ、「近道」なんて一通りだって？
そうじゃなくって、ちがう「川」で考えようというのです。
なにも「川」（の傾き）は、「黄金数」である必要（ひつよう）はありませんからね。
＜ /２ー１ ＞
黄金数は、連分数であらわすと、 ず〜っと １ が続く数でした。
それなら、連分数であらわすと、 ず〜っと ２ が続く数は？
それは、前回もやりましたね。
１
１ ＋ /２ ＝ ２ ＋ １
２＋ １
２＋ ２＋
・・・
です。
でも、パソコンの画面が横長ということもあって、
さいしょの ２ だけとった数の /２−１ を考えてみましょう。
さて、この数の近似分数は、とちゅうまで計算すると、
１/２ ， ２/５ ， ５/１２ ， １２/２９ ・・・
となります。
ちなみに、つぎの近似分数を出すには、分子も分母も、
自分を２倍した数と、その前の数をたせばいいですね。
そうすると、
分子が偶数なら分母は奇数、分子が奇数なら分母は偶数となって、
分子も分母も奇数になることはありません。
だったら、どこをゴールにするかを気にしなくても、
そのうち、「しんぶんし」になりそうですね。
さて、なるべく「川」に近いところを通るような文字列は・・・
こんな文字列になってきますね。
Ｓ
Ｌ
ＳＬ ・・・ Ｓは１，Ｌは１で １：１ から １/１
ＳＬＳ ・・・ Ｓは２，Ｌは１で ２：１ から １/２
ＳＬＳＳＳＬＳ ・・・ Ｓは５，Ｌは２で ５：２ から ２/５
ＳＬＳＳＳＬＳＳＬＳＳＬＳＳＳＬＳ ・・・ Ｓは１２，Ｌは５で １２：５ から ５/１２
これって、名もない文字列です。
さすがに、このホームページでも、いちいち名前をつけたりはしません。
さて、同じように考えて、
さっそく、スタートとゴールから同時に進んでみましょう。
Ｓ
Ｌ
ＳＬ
ＳＬＳ
ＳＬＳＳＳＬＳ
ＳＬＳＳＳＬＳＳＬＳＳＬＳＳＳＬＳ
ＳＬＳＳＳＬＳＳＬＳＳＬＳＳＳＬＳＳＬＳＳＳＬＳＳＬＳＳＳＬＳＳＬＳＳＬＳＳＳＬＳ
だんだん、あとの方になると（・・・というよりは、またしてもずいぶん早めに）
「しんぶんし」になっていますね。
さて、ここで、この数の近似分数の
１/２ ， ２/５ ， ５/１２ ， １２/２９ ・・・
のほかに、どんなところを通るかを見ていくことにしましょう。
まずは、「ＳＬＳＳＳＬＳ」で見てみましょう。
もうすでに、「しんぶんし」になっているとすると、
スタートから「ＳＬＳ」と行けば、ゴールからも「ＳＬＳ」とくることになります。
ということは、「ＳＬＳＳＳＬＳ」の２/５から、「ＳＬＳ」の１/２もどった
２−１ １
-------- ＝ ----
５−２ ３
のところを通ることになります。
同じように、もうすでに「しんぶんし」になっていたとしたら・・・
５−２ ３
-------- ＝ ----
１２−５ ７
１２−５ ７
-------- ＝ ----
２９−１２ １７
というところを通ることになります。
さて、こうしてでてきた
１/３ ， ３/７ ， ７/１７ ， ・・・
はどんな数でしょうか。
それは、もとの近似分数
１/２ ， ２/５ ， ５/１２ ， １２/２９ ・・・
の（それぞれの間の）中間近似分数とよばれているものです。
１/２ ， ２/５ ， ５/１２ ， １２/２９ ・・・
１/３ ， ３/７ ， ７/１７ ， ・・・
● 中間近似分数（２） ●
もちろん、中間近似分数というのは、
間にたった１つだけあるというわけではありません。
そのことを、連分数であらわすと、 ず〜っと ３ が続く数から、
（パソコンの画面が横長ということで、）さいしょの ３ だけとった数の
（/１３−３）/２ でみてみましょう。
１
（/１３ −３）/２＝ １
３＋ １
３＋ ３＋
・・・
さて、この数の近似分数は、とちゅうまで計算すると、
１/３ ， ３/１０ ， １０/３３ ， ・・・
となります。
ちなみに、つぎの近似分数を出すには、分子も分母も、
自分を３倍した数と、その前の数をたせばいいですね。
そうすると、こんどは分子も分母も奇数になることがあって、
どこをゴールにするかが問題になってきます。
でもまあ、そのうち、ほぼ「しんぶんし」になるってことでいいですね。
さて、１/３ と ３/１０ の間の中間近似分数をみてみましょう。
３−１ ２
-------- ＝ ----
１０−３ ７
とまず１つ見つかりますね。でも、さらに
２−１ １
-------- ＝ ----
７−３ ４
と見つかります。
ついでに、３/１０ と １０/３３ の間の中間近似分数もみてみましょう。
１０− ３ ７
-------- ＝ ----
３３−１０ ２３
７− ３ ４
-------- ＝ ----
２３−１０ １３
● 中間近似分数（３） ●
ゴールからバックして中間近似分数を見つけたので、
なぜか、コースまでバックしてくりかえされそうに、
かんちがいしそうですね。
でも、そんなはずはありません。
そう、スタートとゴールから、まるで鏡を見ているように
「上」なら「下」、「右」なら「左」
といったぐあいに同時に進むはずです。
けっして、コースまで、
ゴールからバックして、くりかえされるのではありません。
中間近似分数のところは、あくまでもそこを通るというだけです。
このことを、連分数であらわすと、 ず〜っと ４ が続く数から、
（パソコンの画面が横長ということで、）
さいしょの ４ だけとった数の
/５−２ で見てみましょう。
１
/５ −２ ＝ １
４＋ １
４＋ ４＋
・・・
ほらね。
たとえば、右上の図の ４/１７ をゴールとするコースでは、
４/１７ から ３/１３ までバックするのと
３/１３ から ２/９ までバックするのとでは、
同じくりかえしですが、
２/９ から １/５ までバックするのとでは、
ちがっていますね。
でも、たしかに １/５ は通っています。
そして、１/５ を通りながら、
「しんぶんし」になるように進んでいますね。
じつは １７/７２ をゴールとするコースもかきたかったのですが、
パソコンの画面に入りきらなかったので
中間近似分数の ９/３８ までの図としてしまいました。あしからず！
● 中間近似分数（３） ●
ここまで、ず〜っと １ やら ２ やら ３ やら ４ が
つづく数ばかりやってきたので、さいごに、
１，２，１，２・・・ とたがいちがいにつづく数でしめくくる（？）ことにしましょう。
１
/３ −１ ＝ １ ＋ １
２＋ １
１＋ １
２＋
・・・
この図を見ると、
スタートとゴールから、まるで鏡を見ているように
「上」なら「下」、「右」なら「左」
といったぐあいに同時に進むのはいいですが、
重なるばあいもでてきて、ややこしいですね。
さて、今回の
なるべく「川」に近いところを通るような行き方はどうでしたか。
えっ、もう「川」には近づきたくないって？
そうそう、「よい子は、川に近づかない」でしたね。
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小林吹代
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