ペンローズ・タイル
● ペンタグラム ●
ペンタグラムといったら・・・
そう、あのピタゴラス教団のシンボルマークです。
もう、このホームページでは、おなじみですね。
だったら、ペンローズなんだから・・・
きっと、ペンタグラムのローズ（バラの花）だろうって？
ざんねんでした。
ペンローズというのは、人の名前なのです。
その人は、２種類（しゅるい）のタイルを発明（？）して、
無限（むげん）に広がる平面を「タイルばり」してみせたのです。
えっ、無限（むげん）に広がる平面なんて、
一生かかっても「タイルばり」できっこないって？
もちろん、その方法を考えただけです。
そのタイルばりが、
ちょっとそれまでになかったようなものなので、（非周期的といわれるもの）
とっても有名になりました。
● 相似 ●
さあ、どんなタイルなのでしょうか。
わくわく、どきどきですよね。
きっと、見たこともないタイルだよね〜って？
これまた、ざんねんでした。
じつは、中学生ならきっと一度は見たことがあるものなのです。
図形の相似（そうじ）のお勉強のところでです。
まん中の三角形を見たことありますよね。
角の大きさが １：２：２ の比になっている三角形です。
この三角形を、図のように「赤」と「青」に切ると、
「青」の三角形は、切る前のもとの三角形と相似（そうじ）でした。
ペンローズ・タイルというのは、
この「赤」と「青」の三角形を図のようにくっつけて、
ひし形にしたものです。
そして、この２種類（しゅるい）のタイルをつかって、
平面をすき間なくうめていったのです。
つまり、ジグソーパズルのようなものです。
たとえば、こんなふうになります。
もちろん、あとはこの「かたまり」を使って、
どんどん平面をうめていこう・・・なんていうのはダメですよ。
そういうのは、周期的（しゅうきてき）といって、
めずらしくもなんともないのです。
ちなみに、こんなソロバンの玉のような形にしたのは、
なんのふかい意味もありません。
２種類のタイルのどちらかから始めてもよかったのですが、
それだと、ステップが多くなって、めんどうだっただけです。
● 拡大・縮小 ●
このペンローズ・タイルを使って、
いきなり「タイルばり」をはじめたら・・・
さあ、たいへん！
無限（むげん）に広がる平面どころか、
あっという間に、行きづまってしまいます。
では、どうするかって？
なにごとも、計画（けいかく）が大切ですね。
今回は、計画を図にしてしまうのです。
さしづめ、「タイルばり」の設計図（せっけいず）です。
では、これから、その設計図（せっけいず）を書いていきましょう。
たとえば、下の図からはじめます。
これを、どんどんこまかくしていくのです。
どんどん、どんどん・・・。
もっと、どんどん、どんどん・・・。
もっともっと、どんどん、どんどん・・・。
もっともっともっと、どんどん、どんどん・・・。
もちろん、もっともっともっともっと・・・こまかくしていけます。
いつまでも、いつまでも・・・
そう！無限（むげん）にこまかくしていけるのです。
・・・ということは？
これを拡大（かくだい）した設計図（せっけいず）を見ながら、
どんな大きな壁（かべ）だって、みごとに「タイルばり」ができるってものです。
もちろん、どこか気に入った部分（ぶぶん）をとりだして、
そこから、どんどん細かくしていってもいいですね。
● 黄金比 ●
では、どういうルールで、こまかくしていったのでしょうか。
もちろん、こまかくするといっても、
もとのタイルと形は同じです。
つまり、相似（そうじ）です。
この相似比には、あの黄金比が登場します。
くわしくは、このホームページの
「ペンタグラム」、「黄金数」、「フィボナッチ数」、「母関数」などを見てくださいね。
ちなみに、下の図は「母関数」にのせてあります。
でも今回は、相似比については、立ち入らないでおきましょう。
さて、こまかくするといっても
ちぢめて小さくするだけなら、かんたんですが、
それでジグソーパズルのように、くみあわせるとなると・・・。
じつは、もうすでに、２種類のうちの細（ほそ）い方のタイルは、
すでに、こまかくする方法をお知らせしてあるのです。
まん中の三角形を２つ、（たてに）くっつけると、
ペンローズ・タイルの細い方（の１まわり大きいもの）です。
そして、そのこまかくする方法は、
もうやりましたよね。
この三角形を、図のように「赤」と「青」に切ると・・・、
そう、「青」の三角形は、切る前のもとの三角形と相似（そうじ）でした。
ですから、それを２つくっつけたものは、
もとのペンローズ・タイルの細い方と相似です。
さらに、のこった「赤」の三角形を２つくっつけると、
今度はペンローズ・タイルの太い方と相似です。
これを、（２まわり）小さいサイズで図にすると・・・
さて、では太い方のタイルは、
どのように、こまかくするのでしょうか。
それが、下の図です。
なんといっても、相似比に黄金数が出てくるだけあって、
ペンタグラムが大活躍（だいかつやく）ですね。
そして、ペンローズは、このジグソーパズルのようなかみあわせが、
うまくいくってことを見つけたのです。
しかし、どんな教科書にものっているほど、
平凡（へいぼん）きわまりない三角形から、こんなことを考えつくなんて・・・。
やっぱり、ただものではありませんね。
● 線対称 ●
さっき、どこか気に入った部分（ぶぶん）をとりだして、
そこから、どんどん細かくしていってもいいってことでしたよね。
そこで、さっそく正１０角形の部分をとりだして、
どんどんこまかくしていきました。
それが、下の図です。
５角形に広がっていて、とってもきれいですね。
ところで、ペンローズは、さいしょから
ひし形のタイルを考えたのではありませんでした。
じつは、さいしょは、こんな２種類のタイルをつかったのです。
これをつかうと、たとえば、さっきの正１０角形は、
こんなふうになります。
そして、じ〜っとみつめると・・・
や〜っぱり、ペンタグラムのローズ（バラの花）です。
「名は体を表す」というけれど・・・もしかして？
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小林吹代
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