●　ピタゴラス数　●

寺田恵一さまから、こんなメールをいただきました。

ピタゴラス数に関するものです。

　１９５０年から１９９８年ですか〜

　２歳からでも５０歳になってしまいます。

　おどろきました！そんな方が、本当にいらっしゃるのですね〜

　それなら、この私は、この３０年間いったい何をしていたのでしょうか。

　記憶をたどるまでもなく、数学とは無縁だったような気がします。（算数には縁があったかも）

　日々の生活に、ひたすら追われていたような・・・。

　月日のたつのは、本当に早いものですね〜

　おっと、話をもどしましょう。

　ちなみに、

　　　Ｘが奇数のとき　Ｘ＝ＭＮ　，　Ｙ＝（Ｍ^２−Ｎ^２）／２　，　Ｚ＝（Ｍ^２＋Ｎ^２）／２

というのは、けっこういろいろな本にのっています。

　またここでの方法は、

　　　Ｘが奇数のときは、Ｍ，Ｎは互いに素であるとか

　　　Ｘが４の倍数のときは、Ｍ／２，Ｎ／２のどちらかは奇数であるとか

いろいろ省略されているように思います。

さて、これがピタゴラス数の昇順の求め方ですといわれても、

何をもって昇順というのか分からなかったのですが、どうも

　　　　　Ｘ＜Ｙ＜Ｚ　となるようなものを、Ｘが小さい順に求めていこう

ということのようでした。

　それにしても・・・

　たとえば、Ｘ＝３のとき

　Ｘ＝３×１　，　Ｙ＝（３^２−１^２）／２＝４　，　Ｚ＝（３^２＋１^２）／２＝５

となり、（３，４，５）のピタゴラス数がでます。

　ところが、Ｘ＝４のときも

　Ｘ＝４×２／２　，　　Ｙ＝（４^２−２^２）／４＝３　，　Ｚ＝（４^２＋２^２）／４＝５

となり、順序だけ入れかわった（４，３，５）のピタゴラス数がでてきます。

　これでは、ピタゴラス数の昇順の求め方にならないのではないか

と思い、おたずねしたところ、返答はあまりにもあっけらかんとしたものでした。

　つまり、この場合は、Ｘ＝４、Ｙ＝３　というのを見て（コンピュータが判断して）、

飛ばして次に進むというのです。

　つまり、この方法というのは、とりあえずいったんＹを求めてしまってから、

おもむろにＸとＹの大小比較をした上で、Ｘ＜Ｙとなっているものだけを残すというものです。

　そうなら、ピタゴラス数の昇順の求め方というよりは、

ピタゴラス数を昇順に計算していくアルゴリズムといった方がふさわしいかもしれませんね。

　じっさい、寺田恵一さまはプログラムを作って、ずいぶん大きな数まで計算なさったようです。

●　ピタゴラス数　●

　それでは、少しばかり計算するといたしましょう。

・　Ｘ＝３　は奇数

　　　　　Ｘ＝３×１　，　Ｙ＝（３^２−１^２）／２＝４　，　Ｚ＝（３^２＋１^２）／２＝５　　（３，４，５）

・　Ｘ＝４　は４の倍数

　　　　　Ｘ＝４×２／２　，　Ｙ＝（４^２−２^２）／４＝３　となり　Ｘ＜Ｙ　でないのでボツ！

・　Ｘ＝５　は奇数

　　　　　Ｘ＝５×１　，　Ｙ＝（５^２−１^２）／２＝１２　，　Ｚ＝（５^２＋１^２）／２＝１３　　（５，１２，１３）

・　Ｘ＝７　は奇数　（　Ｘ＝６　は４の倍数でないので飛ばす）

　　　　　Ｘ＝７×１　，　Ｙ＝（７^２−１^２）／２＝２４　，　Ｚ＝（７^２＋１^２）／２＝２５　　（７，２４，２５）

・　Ｘ＝８　は４の倍数

　　　　　Ｘ＝８×２／２　，　Ｙ＝（８^２−２^２）／４＝１５　，　Ｚ＝（８^２＋２^２）／４＝１７　　（８，１５，１７）

・　Ｘ＝９　は奇数

　　　　　Ｘ＝９×１　，　Ｙ＝（９^２−１^２）／２＝４０　，　Ｚ＝（９^２＋１^２）／２＝４１　　（９，４０，４１）

・　Ｘ＝１１　は奇数　（　Ｘ＝１０　は４の倍数でないので飛ばす）

　　　　　Ｘ＝１１×１　，　Ｙ＝（１１^２−１^２）／２＝６０　，　Ｚ＝（１１^２＋１^２）／２＝６１　　（１１，６０，６１）

・　Ｘ＝１２　は４の倍数

　　　　　Ｘ＝６×４／２　，　Ｙ＝（６^２−４^２）／４＝５　となり　Ｘ＜Ｙ　でないのでボツ！

　　　　　Ｘ＝１２×２／２　，　Ｙ＝（１２^２−２^２）／４＝３５　，　Ｚ＝（１２^２＋２^２）／４＝３７　　（１２，３５，３７）

・　Ｘ＝１３　は奇数

　　　　　Ｘ＝１３×１　，　Ｙ＝（１３^２−１^２）／２＝８４　，　Ｚ＝（１３^２＋１^２）／２＝８５　　（１３，８４，８５）

・　Ｘ＝１５　は奇数　（　Ｘ＝１４　は４の倍数でないので飛ばす）

　　　　　Ｘ＝５×３　，　Ｙ＝（５^２−３^２）／２＝８　となり　Ｘ＜Ｙ　でないのでボツ！

　　　　　Ｘ＝１５×１　，　Ｙ＝（１５^２−１^２）／２＝１１２　，　Ｚ＝（１５^２＋１^２）／２＝１１３　　（１５，１１２，１１３）

・　Ｘ＝１６　は４の倍数

　　　　　Ｘ＝８×４／２　は　８／２＝４　も　４／２＝２　も奇数でないのでボツ！

　　　　　Ｘ＝１６×２／２　，　Ｙ＝（１６^２−２^２）／４＝６３　，　Ｚ＝（１６^２＋２^２）／４＝６５　　（１６，６３，６５）

・　Ｘ＝１７　は奇数　

　　　　　Ｘ＝１７×１　，　Ｙ＝（１７^２−１^２）／２＝１４４　，　Ｚ＝（１７^２＋１^２）／２＝１４５　　（１７，１４４，１４５）

・　Ｘ＝１９　は奇数　（　Ｘ＝１８　は４の倍数でないので飛ばす）

　　　　　Ｘ＝５×３　，　Ｙ＝（５^２−３^２）／２＝８　となり　Ｘ＜Ｙ　でないのでボツ！

　　　　　Ｘ＝１５×１　，　Ｙ＝（１５^２−１^２）／２＝１１２　，　Ｚ＝（１５^２＋１^２）／２＝１１３　　（１５，１１２，１１３）

・　Ｘ＝２０　は４の倍数

　　　　　Ｘ＝１０×４／２　，　Ｙ＝（１０^２−４^２）／４＝２１　，　Ｚ＝（１０^２＋４^２）／４＝２９　　（２０，２１，２９）　

　　　　　Ｘ＝２０×２／２　，　Ｙ＝（２０^２−２^２）／４＝９９　，　Ｚ＝（２０^２＋２^２）／４＝１０１　　（２０，９９，１０１）

・　Ｘ＝２１　は奇数

　　　　　Ｘ＝７×３　，　Ｙ＝（７^２−３^２）／２＝２０　となり　Ｘ＜Ｙ　でないのでボツ！

　　　　　Ｘ＝２１×１　，　Ｙ＝（２１^２−１^２）／２＝２２０　，　Ｚ＝（２１^２＋１^２）／２＝２２１　　（２１，２２０，２２１）

以下、同じようにしてどんどん・・・

●　（続）ピタゴラス数　●

　さて、このホームページでもピタゴラス数はやりましたね。

　（３，４，５）　のように、直角三角形の３辺になる整数（の組）を、
ピタゴラス数といったのです。

このホームページでは、こんなふうにやりました。

　直角三角形の３辺を　ａ，ｂ，ｃ　とすると

　　　　　ａ^２　＋　ｂ^２　＝　ｃ^２　　　・・・ (1)

　　まず、(1)の両辺を　ｃ^２　でわると

　　　　ａ^２　　　　ｂ^２
　　　　ｃ^２　＋　ｃ^{２　　＝　１　　　・・・　（２）}

　そこで、（１）のかわりに

　　　　　Ｘ^２　＋　Ｙ^２　＝　１　　　・・・ (３)

　ここで、Ｘ，Ｙ　が（正の）分数（有理数といいます）であるものをさがすことにしました。

　そうすると、分数　ｔ　を用いて、こんなふうに書けました。

　　　　　　　　　　　　　　１−ｔ^{２
　　　　　　　　Ｘ　＝}　１＋ｔ^{２　　　　・・・（１０）}

　　　　　　　　　　　　　　　２ｔ　　
　　　　　　　　^Ｙ　＝　１＋ｔ^{２　　　　・・・（１１）}

^{ここで、ｔ＝n/m とすると、こうなります。}

　　　　　　　　　　　　　　１−(n/m)^２　　　　m^２−n^{２
　　　　　　　　Ｘ　＝}　１＋(n/m)^２　＝m^２＋n^２

　　　　　　　　　　　　　　　２ｔ　　　　　　２(n/m)　　　　　　　２mn　　
　　　　　　　　^Ｙ　＝　１＋ｔ^２　　＝１＋(n/m)^２　　＝m^２＋n^２　　　

けっきょく、ｃ^２　でわった（X，Y，１）は上のようになり、ｃ^２　でわる前の（ａ，ｂ，ｃ）は

　　　　　　　（ ｍ^２−ｎ^２　，　２ｍｎ　，　ｍ^２＋ｎ^２　）　　

となります。

　ずいぶん回り道をしましたが、このことは初等整数論という、

わりきれる・わりきれないといったような議論からも出すことができます。

　同じように、わりきれる・わりきれないといったような議論から

Ｘが奇数のとき　Ｘ＝ＭＮ　，　Ｙ＝（Ｍ^２−Ｎ^２）／２　，　Ｚ＝（Ｍ^２＋Ｎ^２）／２

ということも出てきます。

●　（続々）ピタゴラス数　●

　さて、メールでもふれていましたが、

　　　　　Ｘ＝ｍ^２−ｎ^２　，　Ｙ＝２ｍｎ　，　Ｚ＝ｍ^２＋ｎ^２　　（ｍ，ｎは互いに素）

は、とても有名です。

　もちろん、これとは独立に

　　　　Ｘが奇数のとき　Ｘ＝ＭＮ　，　Ｙ＝（Ｍ^２−Ｎ^２）／２　，　Ｚ＝（Ｍ^２＋Ｎ^２）／２

のようなことを出すこともできるのですが、せっかくだから、あるものは利用しましょう。

　まず、

　　　　　Ｘ＝ｍ^２−ｎ^２　，　Ｙ＝２ｍｎ　，　Ｚ＝ｍ^２＋ｎ^２　　（ｍ，ｎは互いに素）

で、Ｘは奇数、Ｙは偶数、Ｚは奇数です。

　もし、Ｘを偶数にしたければ、

　　　　　Ｘ＝２ｍｎ　，　Ｙ＝ｍ^２−ｎ^２　，　Ｚ＝ｍ^２＋ｎ^２　　（ｍ，ｎは互いに素）

と並べかえるだけです。

　ちなみに、Ｚ＝ｍ^２＋ｎ^２　は斜辺で、一番長くなっています。

　それから、（３，４，５）はピタゴラス数ですが、

これを全部２倍した（６，８，１０）や、３倍した（９，１２，１５）は必ずピタゴラス数になりますから、

もちろんのぞくことにします。

＜Ｘが奇数のとき＞

　Ｘが奇数のときは、

　　　　Ｘ＝ｍ^２−ｎ^２　

　　　　　＝（ｍ＋ｎ）（ｍ−ｎ）　

　ここで　Ｍ＝ｍ＋ｎ　，　Ｎ＝ｍ−ｎ　とします。Ｍ，Ｎともに奇数となります。

　　　　　ｍ＋ｎ＝Ｍ
　　　　　ｍ−ｎ＝Ｎ

　この連立方程式を解くと、ｍ＝（Ｍ＋Ｎ）／２　，　ｎ＝（Ｍ−Ｎ）／２　

　これを代入すると、

　　　　　Ｙ＝２ｍｎ＝２×（Ｍ＋Ｎ）／２×（Ｍ−Ｎ）／２＝（Ｍ^２−Ｎ^２）／２

　　　　　Ｚ＝ｍ^２＋ｎ^２＝（Ｍ＋Ｎ）^２／４＋（Ｍ−Ｎ）^２／４＝（Ｍ^２＋Ｎ^２）／２

となります。

＜Ｘが偶数のとき＞

　　　　　Ｘ＝２ｍｎ　，　Ｙ＝ｍ^２−ｎ^２　，　Ｚ＝ｍ^２＋ｎ^２　　（ｍ，ｎは互いに素）

　ここで、ｍ，ｎのどちらかは奇数で、どちらかは偶数になります。

　そうでないと、ＹもＺも偶数になってしまい、全部２倍したものはのぞくはずだったのに・・・・・

となってしまいます。

　Ｘ＝２ｍｎ　で、ｍかｎは偶数なのですから、Ｘは４の倍数となります。

　さて、Ｘ＝４ｍｎ／２＝（２ｍ）（２ｎ）／２＝ＭＮ／２　とします。

　ここで、Ｍ＝２ｍ　も　Ｎ＝２ｎ　も偶数です。

　ここで、ｍ，ｎのどちらかは奇数で、どちらかは偶数だったので、

　ＭとＮのどちらかは奇数を２倍した偶数で、どちらかは偶数を２倍した偶数、つまり４の倍数です。

　さて、

　　　　２ｍ＝Ｍ　から　ｍ＝Ｍ／２

　　　　２ｎ＝Ｎ　から　ｎ＝Ｎ／２

　これより、

　　　　Ｙ＝ｍ^２−ｎ^２　＝（Ｍ^２−Ｎ^２）／４

　　　　Ｚ＝ｍ^２＋ｎ^２　＝（Ｍ^２＋Ｎ^２）／４

　となります。

●　斜辺の整数　●

　ピタゴラス数の斜辺の数は、どんな数でしょうか。

　ここでは、Ｘ＝ｍ^２−ｎ^２　，　Ｙ＝２ｍｎ　，　Ｚ＝ｍ^２＋ｎ^２　の順に並べてあります。

　　　　　（３，４，５）　，　（５，１２，１３）　，　（１５，８，１７）　，　（７，２４，２５）

　　　　　（２１，２０，２９）　，　（３５，１２，３７）　，　（９，４０，４１）　，　（４５，２８，５３）

　　　　　（１１，６０，６１）　，　（３３，５６，６５）　，　（６３，１６，６５）　，　（５５，４８，７３）

　　　　　（１３，８４，８５）　，　（７７，３６，８５）　，　（３９，８０，８９）　，　（６５，７２，９７）

　じつは、これは完全に分かっています。

＜６５　を斜辺にもつピタゴラス数＞

　たとえば、６５　を斜辺にもつピタゴラス数があるかどうかを知りたいとします。

　そうしたら、６５を素因数分解します。

　　　　　６５＝５×１３

　すると、５ も １３ も ４ でわると １ あまる数です。

　こういうときには、ｍ^２＋ｎ^２＝６５　となる（互いに素な）ｍ，ｎがみつかるのです。

　しかも、いまの場合は６５が５と１３の２つの相異なる素因数のかけ算になっているので、

　２^２−１ ＝２ 通りあるというのです。

　じっさい、（３３，５６，６５）　，　（６３，１６，６５）と２通りあります。

　この２通りを（３，４，５）と（５，１２，１３）から、どうやって出すのかは、かなりおもしろいです。

　複素数で見るのです。

　　　　　（３＋４ｉ）（５＋１２ｉ）＝−３３＋５６ｉ

　　　　　（３＋４ｉ）（５−１２ｉ）＝６３−１６ｉ

　ちなみに、

　　　　　（３−４ｉ）（５＋１２ｉ）＝６３＋１６ｉ

　　　　　（３−４ｉ）（５−１２ｉ）＝−３３−５６ｉ

　これがわかれば、２^２−１ ＝２ 通りあるというのは納得ですね。

　それに対して、７５　を斜辺にもつピタゴラス数はありません。

　　　　　７５＝３×５×５

　ここで　３ は ４ でわると ３ あまる数なので、ｍ^２＋ｎ^２＝７５　となる（互いに素な）ｍ，ｎが

存在しないからです。

くわしくは「初等整数論」の本を、意欲のある方は「代数的整数論」の本をみてください。

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