●　ユークリッドの互除法　●

ユークリッドの互除法を行列を用いて表すと、どうなるでしょうか。

　たとえば、（a、b）の最大公約数と、

（a＋b、b） や （a＋2b、b） や （a＋2b、2a+5b） の最大公約数は同じになりました。

　（a、b）を親、これから生じた（x、y）を子、として見てみることにしましょう。

　たとえば、（x、y）＝（a＋b、b） ， （a＋2b、b） ， （a＋2b、2a+5b） は、（a、b）の子になっています。

　それでは、行列に表してみましょう。

　（x、y）＝（a＋b、b） はこうなります。

　　　　　（x） =  （ 1　 1）（a）
　　　　　（y）     （ 0 　1）（b）

　（x、y）＝（a＋2b、b） はこうなります。

　　　　　（x） =  （ 1　 2）（a）
　　　　　（y）    （ 0 　1）（b）

　じつは、（x、y）＝（a＋b、b） に対する行列を

　　　　　A　= （ 1　 1）
　　　　　　　　（ 0 　1）

とすると、行列の積を用いれば

　　　　A*A = （ 1　 1）（ 1　 1） = （1*1+1*0 　1*1+1*1） =  （ 1　 2）
　　　　　　　  （ 0 　1）（ 0 　1）     （0*1+1*0   0*1+1*1）　　（ 0 　1）

となり、（x、y）＝（a＋2b、b） に対する行列になります。

　それでは、（x、y）＝（a＋2b、2a+5b）に対する行列はどんなものでしょうか。

　　　　　（x） =  （ 1　 2）（a）
　　　　　（y）    （ 2 　5）（b）

　それには、（x、y）＝（a、b+a）に対する行列

　　　　　B　= （ 1　 0）
　　　　　　　　（ 1 　1）

を用います。

　　（a、b）＝（a＋b、b）＝（a＋b＋b、b）＝（a＋2b、b+a+2b）＝（a＋2b、a+3b+a+2b）＝（a＋2b、2a+5b）

　このことを行列を用いて表すと、（行列を右から左へと書いていくことに注意すれば）

　　　　　　　　　 A　　　　　A*A　　　　　　　　　　B*A*A　　　　　　　　　B*B*A*A

となります。実際に計算してみれば

　　　　　B*B*A*A = （ 1　 2）
　　　　　　　　　　　　 （ 2 　5）

となることが確かめられます。

　（a、b）を親としたとき、たし算して（a+b、b）　とするのではなく、ひき算して（a-b、b）　とするなら、　

Aの逆行列

　　　　　A^-1 = （ 1　-1）
　　　　　　　　   （ 0 　1）

となります。

　たし算して（a、b+a）　とするのではなく、ひき算して（a、b-a）　とするなら、

Bの逆行列

　　　　　B^-1 = （ 1　  0）
　　　　　　　　   （ -1  1）

となります。

　親から子を出すには、これらA、A^-1 、B、B^-1 の積で生成される行列を用いることになります。

　さて、これら　A、A^-1 、B、B^-1 には共通のことがあります。

　どれも行列式が１になっているのです。　

　したがって、これらの積から生成される行列も、その行列式は１になります。

　たとえば、先ほどの

　　　　　B*B*A*A = （ 1　 2）
　　　　　　　　　　　　 （ 2 　5）

では、たしかに行列式は　1*5-2*2 = 5 - 4 = 1   と１になっています。

●　ユークリッドのトリプル除法（？）　●

　それでは、数が２つの場合の（a、b）ではなく、

３つになった場合の（a、b、c）で見ていきましょう。

　（a、b、c）を親、これから生じた（x、y、z）を子、として見てみるのです。

　今度は、たし算だけに限っても、もとになるものが６つもあります。

　　　　　　（a+b、b、c）　　　（a+c、b、c）

　　　　　　（a、b+a、c）　　　（a、b+c、c）

　　　　　　（a、b、c+a）　　　（a、b、c+b）

　これらを表す行列を、A_b、A_c、B_a、B_c、C_a、C_b　としましょう。

　すると、次のようになります。　

　ちなみに、A_b^-1 、A_c^-1 、B_a^-1 、B_c^-1 、C_a^-1 、C_b^-1 はその逆行列で、ひき算することになります。　　

　これらの行列にも、共通のことがあります。

　それは、どれも行列式が１になっていることです。　

　したがって、これらの積から生成される行列も、その行列式は１になります。

●　子ピタゴラスの行列　●

（a、b、c）が親ピタゴラス数のとき、これから生じる子ピタゴラス数　　　

　　　　　（a-2b+2c、2a-b+2c、2a-2b+3c）　

　　　　　（-a+2b+2c、-2a+b+2c、-2a+2b+3c）

　　　　　（a+2b+2c、2a+b+2c、2a+2b+3c）

の行列はどうなっているでしょうか。

　では、行列におきかえてみましょう。

　　（a、b、c）＝（a+c、b、c）　　・・・＞　A_c

　　　　　　　＝（a+c-b、b、c-b）　・・・＞　C_b^-1 *A_b^-1 　または　A_b^-1*C_b^-1　　　

　　　　　　　＝（a+c-b、b+a+c-b、c-b+a+c-b）＝（a+c-b、a+c、a-2b+2c）　・・・＞　C_a *B_a 　または　B_a *C_a

　　　　　　　＝（a+c-b+a+c、a+c、a-2b+2c）＝（2a-b+2c、a+c、a-2b+2c）　・・・＞　A_b

　　　　　　　＝（2a-b+2c、a+c+a-2b+2c、a-2b+2c）＝（2a-b+2c、2a-2b+3c、a-2b+2c）　・・・＞　B_c 　

　　いちおう、（行列は右から左へと書いていくことに注意）　　　　　　

　　　　　　B_c * A_b * C_a * B_a * C_b^-1 * A_b^-1 * A_c 　　　　　

を計算して確かめてみましょう。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　（　2     -1     2　）
　　　　　　B_c * A_b * C_a * B_a * C_b^-1 * A_b^-1 * A_c　＝（　2     -2     3  ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　1     -2     2  ）

　おっと、

が出てきてしまいました。

　とはいっても、気にすることはありません。

　先ほどの結果を見れば、納得というものです。

　何なら出てきた行列の、２行と３行を入れかえ、さらに１行と２行を入れかえればいいだけです。

　そうすると、行列式の値は（マイナス）×（マイナス）で、もとにもどります。

　行列式の値は、どちらも１です。

　（a、b、c）が親ピタゴラス数なら、

　　　　　（a-2b+2c、2a-b+2c、2a-2b+3c）　も、

　　　　　（-a+2b+2c、-2a+b+2c、-2a+2b+3c）　も、

　　　　　（a+2b+2c、2a+b+2c、2a+2b+3c）　も、

子ピタゴラス数ということでした。

　ここで並べてある順番は、じつは右が斜辺で一番長く、真ん中は偶数、左は残りとなっているのです。

　先ほど順番が入れかわったのは、そんなことはおかまいなしに、計算しただけだからです。

●　沼倉の行列　●

　さて、問題の行列の行列式はいくらになっているでしょうか。

　左と真ん中の行列式は１であるのに対して、右の行列式は−１となっています。

　だからといって、何が問題というわけでもありません。

　しょせんは、並べる順番のちがいだけです。

　不思議なのは、沼倉さまが問題にしている行列Pです。

　あの、プラス、マイナスを吸収して１つに統一した行列Pです。

　　　　　　　　 ( -1  -2   2 )
　　　　　　P = ( -2  -1   2 )
　　　　　　　　 ( -2  -2   3 )
　

　もっとも、あの吸収説は、わたしの下手なコジツケにすぎません。

　さて、この行列Pの行列式が１という程度なら、まあ不思議でも何でもありません。

　そうではなくって、最初に行列Pをメールで拝見して、すぐに気づいたことがあるのです。

　それは、この行列は、逆行列が自分自身と同じになっているということです。

　つまり

　　　　　　　　　　　　　　　　_−１
　　　　　　　　　P＝P

です。

　いったいどこから、こんな行列が出てきたというのでしょうか。

　沼倉さまは、メールの中でこう書かれていました。

　はあ、世の中には、そういうこともあるのでしょうか。

　プラス、マイナスも考えると、『ロト６』の比ではないように思えるのですが・・・。

　さて、いろいろ書いてはみたものの、事態は全然解決に向かっていません。

　はたして、沼倉さまの予想は正しいのでしょうか。

HOME（もどる）

掲載内容の無断転載、転用、編集を禁じます。(c) 小林吹代
All Rights Reserved, （c）kobayashi fukiyo , 2001