ランダム・ウォーク

●　パスカルの三角形　●

　「たて」のものを「よこ」にもしない人って、どんな人か知っていますか。

　「めんどうくさがりや」、つまり、「なまけもの」なんです。

　そういわれたら、なにがなんでも
「たて」のものを「よこ」にしなくっちゃ〜ね！

　で、なにを「よこ」にするの？

　パスカルの三角形です。

　パスカルの三角形って、こんな三角形でした。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１　　　１
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１　　　２　　　１
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１　　　３　　　３　　　１
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１　　　４　　　６　　　４　　　１
　　　　　　　　　　　　　　　　　１　　　５　　１０　　１０　　　５　　　１

　そこで、これを「よこ」にしてみます。

　さあ、これでどんな話がはじまるというのでしょうか。

●　ランダム・ウォーク　●

　「よっぱらい」って、いや〜ですよね。

　足もとがふらついて、あっちへよろよろ、こっちへふらふら・・・。

　じつは、さんすう・数学でも、こんなお話があるのです。

　「コインなげ」をして、

　　　　　「表（おもて）」がでたら右へ１歩
　　　　　「裏（うら）」がでたら左へ１歩

といったぐあいに歩くのです。

　そうすると、どうなるでしょう。

　たとえば、「裏」がでて「表」がでると、
左へよろよろ、右へふらふらで、
けっきょく、もといたところにもどります。

　さて、この図も、「よこ」から「たて」にしてみます。

　そうすると、今度は「コインなげ」をして、

　　　　　「表（おもて）」がでたら上へ１歩
　　　　　「裏（うら）」がでたら下へ１歩

とあがりさがりをする「アップ・ダウン・ゲーム」です。

　このよこに、さっきのパスカルの三角形をかくと、
パッと確率がでてきます。

　たとえば、「コインなげ」を２回したら、こうなります。

　じっさいの（よっぱらいの）うごきは、
「ｘ軸（じく）」に平行に、「ｙ軸（じく）」にむかって右から光をあてると、
その「かげ」のうごきになっています。

　「２」のところにくるのは、「A」さんの　１通り
　「０」のところにくるのは、「B」さん　と　「C」さんの　２通り
　「−２」のところにくるのは、「D」さんの　１通り

　そうすると、「コインなげ」を２回するのですから、
ぜんぶで　２×２＝４（通り）で、

　　「　２」のところにくる確率は　　１/４
　　「　０」のところにくる確率は　　２/４　（１/２）
　　「−２」のところにくる確率は　１/４

となります。

　下の図をみれば、「コインなげ」の回数をふやしたらどうなるか
すぐにわかりますね。

　ちなみに、ｘ　は　コインなげの回数、もしくは、コインなげにかかる時間
　　　　　　　ｙ　は　たどりついたばしょです。

　でも　・・・。

　パスカルの三角形を「よこ」にして、
あるく道を「たて」にするのなら、
さいしょから、どちらもそのままにしておけばよかったのでは？

●　「つき」　●

　こんなふうに考えたことはありませんか。

　おかしいな〜。
　どうして、いつもついていないんだろう。
　ふつう、「プラス・マイナス・ゼロ」がいちばん多いはず。
　だったら、もう少しがんばれば、
いままでの「マイナス」がとりかえせるにちがいない！

　そうそう、コインなげのような「二項分布（にこうぶんぷ）」は、
回数をふやすと、「正規分布（せいきぶんぷ）」にちかずくのでした。

　でも、そんな「りくつ」って、なんだかおかしいな〜って思いますよね。

　それに、そもそも「ついてないなあ」と感じるのは、
どういうときなのでしょうか。

　えっ、そんなのあたりまえだって？
　ほんとうに、そうでしょうか。

　もう一度、「アップ・ダウン・ゲーム」でみてみましょう。

　はたして、A，B，C，Dのうち、いったいだれが、
「ついてないなあ」と感じるのでしょうか。

　もちろん、ただのばしょなら、どうだっていいにきまっています。

　そうでなくって、

　　　　　「表（おもて）」がでたら　上へ１歩　でなくって　「１」万円もらえる
　　　　　「裏（うら）」がでたら　下へ１歩　でなくって　「１」万円はらう

ということにするのです。

　こうすると、

　　　　　A　　　は　「２」万円もらう
　　　　　BとC　は　「プラス・マイナス・ゼロ」
　　　　　D　　　は　「２」万円はらう

ということで、たしかに「プラス・マイナス・ゼロ」がいちばん多いですね。

　でも、この「アップ・ダウン・ゲーム」で、はたして
BとCは同じくらい、ゲームをたのしく感じていたでしょうか。
　同じくらい、「ついている」って感じたでしょうか。

　もちろん、感じ方のちがいはありますが、
このゲームをやっているあいだ中、

　　　　　B　は　一度はいい思いをして、そんはしなかったのだし、
　　　　　C　は　一度はそんをして、いい思いなんてしなかったのです。

　つまり、ｘ軸から上の方にいられたかどうかという点では、

　　　　　A，Bは「ついている」もしくは「ついていた方」と感じ、
　　　　　C，Dは「ついていない」もしくは「ついていない方」と感じてしまう

のではないでしょうか。

　こんな、「感じ」だって「数」であらわしてしまうのが、さんすう・数学ってものです。

　そこのところを、コインなげの回数をふやして、考えてみましょう。

●　「つき」の法則（？）　●

　今度は、「コインなげ」を４回してみます。

　パスカルの三角形は、こうなりますね。

　そうすると、「コインなげ」を４回するのですから、
ぜんぶで　２×２×２×２＝１６（通り）で、

　　「　４」のところにくる確率は　　　１/１６
　　「　２」のところにくる確率は　　　４/１６　（１/４）
　　「　０」のところにくる確率は　　　６/１６　（３/８）
　　「−２」のところにくる確率は　　４/１６　（１/４）
　　「−４」のところにくる確率は　　１/１６

となります。

　もちろん、「プラス・マイナス・ゼロ」がいちばん多いのです。

　さて、「４」のところにきた人は、ものすごくラッキーです。
　もちろん、ついてるな〜って感じっぱなしです。

　では、「２」のところにきた人は、どうでしょうか。

　４通りのうち３通りまでは、ず〜っと「ｘ軸」より上の方にいられたので、
たぶん「ついている方だな〜」と感じていることでしょう。

　それでは、４通りのうちののこり１通り、
つまり、下の図のようなAさんのケースはどうでしょうか。

　このばあいで、Aさんの「ついている感じ」を、
「数」であらわすということを、考えてみましょう。

　Aさんは、１回目でそんをして、２回目でとりかえし、
３回目と４回目でとくをしました。

　４回中３回勝ったのだから・・・というのも、１つの考え方です。

　でも、べつの考え方だって、できなくはありません。

　たとえば、こんなふうに考えます。

　　　　　「ついている」って感じるのは、「ｘ軸」より上の方にいた時間
　　　　　「ついてない」って感じるのは、「ｘ軸」より下の方にいた時間

　そうすると、Aさんは半分上で半分下です。

　そこで、「ついている感じ」を、ぜんぶの時間のうち、
「ｘ軸」より上の方にいた時間のわりあいであらわすことにすると、
Aさんの「ついている感じ」は、２/４＝１/２　となります。

　えっ、０から１までの間を入れるのは、おかしいって？

　そういう人は、ｘ軸のめもりを１だけずらして考えてください。
　だって、４回目だけ、よろこぶひまもなく、
しゅんかんで終わってしまうなんて、おかしいですからね。

　さて、Aさんのように、このゲームをはらはら、どきどきしながらやっている、
つまり、「ついている感じ」が１/２ぐらいの人って、
ほんとうに一番多いのでしょうか。

　みてみましょう。

　BさんやCさんは、ずっとｘ軸の上の方です。
　つまり、「ついている感じ」は、４/４＝１　です。

　DさんやEさんは、ｘ軸の上の方へ行ったり、下の方へ行ったり、
つまり、はらはら、どきどきです。
　そして、「ついている感じ」は、２/４＝１/２　となります。

　こんなふうにして、「コインなげ」を４回したばあいの、
ぜんぶで　２×２×２×２＝１６（通り）をみてみます。

　まず、「ついている感じ」が　４/４＝１　になるのは、
　　　　　「４」のところにくる１通りと、
　　　　　「２」のところにくる４通りのうち３通りと、
　　　　　「０」のところにくる６通りのうち２通りの、
あわせて　６通り　です。

　ぎゃくに、「ついている感じ」が　０/４＝０　になるのも、
　　　　　「−４」のところにくる１通りと、
　　　　　「−２」のところにくる４通りのうち３通りと、
　　　　　「０」のところにくる６通りのうち２通りの、
あわせて　６通り　です。

　そして、「ついている感じ」が　２/４＝１/２　になるのは
　　　　　「２」のところにくる４通りのうち１通りと、
　　　　　「０」のところにくる６通りのうち２通りと、
　　　　　「−２」のところにくる４通りのうち１通りの、
あわせて　４通り　です。

　けっきょく、ぜんぶで　２×２×２×２＝１６（通り）のうち、
　　　　　「ついている感じ」が　４/４＝１　になるのは、６/１６＝３/８
　　　　　「ついている感じ」が　０/４＝０　になるのも、６/１６＝３/８
　そして、
　　　　　「ついている感じ」が　２/４＝１/２　になるのは、４/１６＝２/８（＝１/４）
となります。

　どうですか。

　このゲームを、０のあたりを上へ行ったり、下へ行ったりしながら、
はらはらどきどきでゲームをしている人って、
いがいと１番少ないのですね。

　えっ、それは回数が少ないからで、
もっとたくさん「コインなげ」をすれば、
きっと「ついている感じ」が１/２あたりが、一番多いだろうって？

　ざんねんでした。

　回数をふやすと、「ついている感じ」が１/２だけじゃなくって、
０と１の間の、いろいろな数であらわされる「感じ」をもつ人が、ふえるだけなのです。

　そして、「ついている感じ」が１にちかい数の人や、
「ついている感じ」が０にちかい数の人にくらべて、
「ついている感じ」が１/２あたりの人って、やっぱり一番少ないのです。

　でも、これって、あくまでも「ついている感じ」を、
ぜんぶの時間のうち、「ｘ軸」より上の方にいた時間のわりあい
であらわしたときのお話です。

　「４」のところに行けた人と、
ずっと上にはいたものの、けっきょく「０」になった人が、
同じように「ついている感じ」が１だといわれても
なっとくいきませんよね〜っ！

　（あくまでも、上にいることにいみがあるような、
もっとちがったたとえ話にするべきでしたね。）

HOME（もどる）

掲載内容の無断転載、転用、編集を禁じます。(c) 小林吹代
All Rights Reserved, （c）kobayashi fukiyo , 2001