連分数
● A３，A4，B3，B4 ●
「ちかごろ、Aサイズでないとだめなんだ。
わら半紙では、Bサイズだし・・・。」
もちろん、洋服のサイズのお話ではありません。
「紙」のサイズ（規格）を話題にしているんです。
でも、これからのお話には、
AサイズだろうがBサイズだろうがどちらでもいいんです。
とりあえず、紙を１枚用意してください。
でも、正方形の「おり紙（色紙）」ではだめですよ。
A３，A４，B３，B4，・・・ といったサイズの紙です。
そんなのな〜い、って？
わら半紙がなくったって・・・、ノートを１枚やぶらなくったって・・・、
いつも新聞に入ってくる「折り込みちらし」というものがあります！
あれって、だいたいA３，A４，B３，B4，・・・ といったサイズなんですよ。
用意できましたか？
では、おり紙をしましょう。
まず、点Ａが直線ＢＣ上にくるようにおりまげます。
つぎに、直線ＢＥ と 直線ＢＦ がかさなるようにおります。
つまり、角ＥＢＦを二等分するようにおります。
そうすると、点Ｅ と 点Ｃ がぴったりかさなるでしょ！！
ということは・・・・・。
そう、もともとの紙（長方形）は たてとよこの比が、
正方形の対角線の長さになるようになっていたのです。
ＡＢ ： ＢＣ ＝ １ ： /２
● 相似 ●
どうして、たてと横の比が １：/２ になるようにしてあるのでしょうか。
そのことをみるために、今度は同じ大きさの紙を２枚用意しましょう。
えっ、今日の「ちらし」は全部大きさがちがっているって・・・。
それなら、１枚の「ちらし」をきっちり半分に切ってください。
（長い方の辺を半分にしてね。）
とにかく、さっき使ったくしゃくしゃになった紙ではなく、
おり目のついていない新しいのを用意してください。
そうしたら、一方はそのままにして、もう片方は図のように半分に切ります。
そして、それぞれの長方形の対角線に（１本だけ）おり目をつけます。
 |
と、その半分 |
 |
それを、（てきとうに回転させたり、うらがえしたりして）重ねると、
下の図のように、対角線がかさなります。
これって、半分に切ってできた長方形ともとの長方形が相似ってことです。
じっさい、
/２
２ ： １ ＝ /２ ： ２
＝ /２ ： （/２）２
＝ １ ： /２
ということは・・・、
紙のサイズは、どんどんどんどん半分にきっていっても、
もとの紙と相似になるようにくふうしてあるのですね。
● 連分数 ●
さて、せっかくですから、ここで
ユークリッドの互除法（の無理数版？）をやってみましょう。
ユークリッドの互除法を知らな〜い、っていう人は
＜お勉強＞の「ユークリッドの互除法」を見てね。
ここでは、どんどん正方形でうめていくってことを、まねしてみます。
はやい話が、どんどん（できるだけ大きい）正方形を切り取っていくのです。
＜ /２ と １ ＞
まず、もとの長方形は /２ と １です。
まず
/２ ÷ １ ＝ １ あまり （/２−１）
とします。（こんなわり算の書き方は、学校ではしないでね。）
これは、/２ から１が１つとれて、（/２−１）のこったということです。
＜ １ と （/２ー１） ＞
次に、今度は反対に １ から （/２−１）がいくつとれるか見てみます。
１
１ ÷ （/２−１） ＝ /２−１
/２＋１
＝（/２−１）（/２＋１）
/２＋１
＝ ２ − １
＝ /２＋１ ・・・・・ （１）
＝ ２ ＋（/２−１） ・・・ （２）
ですから、商は ２ ですが、
あまりは １ から （/２−１）の２倍の長さをひいたものです。
１−２（/２−１） ＝ ３−２/２
ですから、
１ ÷（/２−１） ＝ ２ あまり （３−２/２）
＜ （/２−１） と （３−２/２） ＞
さらに今度は、（/２−１） から （３−２/２） がいくつとれるか見てみます。
（/２−１）
（/２−１） ÷ （３−２/２） ＝ （３−２/２）
（/２−１）（３＋２/２）
＝ （３−２/２）（３＋２/２）
３/２＋４−３−２/２
＝ ９ − ８
＝ /２＋１ ・・・・・ （３）
＝ ２ ＋（/２−１）
となり、やっぱり 商は ２ですが、
あまりは （/２−１） から （３−２/２）の２倍の長さをひいたものです。
（/２−１） − ２（３−２/２） ＝ ５/２−７
ですから、
（/２−１） ÷（３−２/２） ＝ ２ あまり （５/２−７）
＜ 相似 ＞
続けてやる前に、（１）と（３）がいっしょであることに気づきますね。
これは、下の２つの長方形が相似だってことです。
 |
と |
 |
そうすると、どんどん小さくなって同じことがくりかえされるだけです。
つまり、正方形は２個とれて、「はんぱ」がでてくることのくりかえしです。
＜ 連分数 ＞
このことを、分数であらわしてみます。
/２ ＝ １ ＋ （/２−１）
１
＝ １ ＋ １ ・・・ （４）
/２−１
１
＝ １ ＋ ２＋（/２−１）
ここのところは （２）の
１ ÷ （/２−１） ＝ ２ ＋（/２−１） ・・・ （２）
です。
そして、
１
＝ １ ＋ １
２＋ １
（/２−１）
ここから （長方形が相似となって
（/２−１）
（/２−１） ÷ （３−２/２） ＝ （３−２/２）
が
１
/２−１
と等しくなって、）あとは同じくりかえしとなって
１
/２ ＝ １ ＋ １
２＋ １
２＋ ２＋
・・・
となります。
ちなみに、（４）のように
１
（/２−１） ＝ １
/２−１
というように、分子と分母を入れかえることは
互除法では、たがいちがいに（お互いに）わり算をするってことです。
/２ ＝ １．４１４２１３５６・・・ （一夜一夜に、ひと見頃・・・）
が/２の小数でのあらわし方なら、これは/２の分数でのあらわし方です。
こんな分数は、連分数（れんぶんすう）とよばれています。
分数の方が、ず〜っと ２ が続いていてとってもきれいですね。
ところが、ず〜っと続くのが気に入らなかった人がいるのです。
なんと、ピタゴラスの定理を発見したピタゴラス（教団）自身です。
ピタゴラスの定理によると、正方形の対角線は２乗して２になる数、つまり/２ です。
ところが、いままで見てきたように、正方形の一辺と対角線の比は
いつまでたっても「はんぱ」がでてくる・・・。
これって、ふつうなら、
こ〜んなにおもしろいこと見つけた〜！大発見！！っていうことで、
みんなにじまんしそうなものなのに、
自分たちの主義・信条にあわない・・・ということで、
ひたかくしにかくしたとのことです。
● ２２/７ ●
２２/７ （７分の２２）って有名ですね。
そう、円周率πの近似値（きんじち）です。
円周率πの近似値として、ふつうは小数の ３．１４ を使います。
でも、分数では ２２/７ を使うことが多いようです。
ついでですから、３．１４ に近い分数を
ユークリッドの互除法を使って求めてみましょう。
まず、約分しておきます。
３１４ １５７
１００ ＝ ５０
ここから、 １５７ と ５０ でユークリッドの互除法を使います。
１５７ ７
１５７ ÷ ５０ ＝ ３ あまり ７ ， これは ５０ ＝ ３ ＋ ５０
５０
１
５０ ÷ ７ ＝ ７ あまり １ ， これは
７ ＝ ７
＋ ７
これを、分数にあらわしてみます。
３１４ １５７
１００ ＝ ５０
７
＝ ３ ＋ ５０
１
＝ ３ ＋ ５０
７
１
＝ ３ ＋
1
7+
７
１
ここで、 ７
を切り捨てると
１
３．１４ ＝ ３ ＋ ７
２２
＝ ７
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小林吹代
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