多項定理
● パスカルの三角形 ●
パスカルの三角形には、
「三角形」の頂点や辺や面の個数がひそんでいました。
（このホームページの「４次元」でやりましたね。）
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１ ２ １ |
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２ は頂点の個数 |
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１ ３ ３ １ |
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３ は頂点の個数
３ は辺の個数 |
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１ ４ ６ ４ １ |
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４ は頂点の個数
６ は辺の個数 ４ は面の個数 |
そして、４次元の三角形である正５胞体では・・・
１ ５ １０ １０ ５ １
５個の頂点、１０個の辺、１０個の面、そして５個の胞がありました。
● パスカル風三角形 ●
だったら、超立方体の頂点や辺の個数も
パスカルの三角形のように、パッと出てくるといいですね。
それなら、今度こそパスカルの三角形でなくって、
パスカルの正方形だろうって？
ざんねんでした。
やっぱり、「三角形」なのです。
しいていうなら、パスカル風三角形です。
（パスカル風なんて、なんだかおいしいお料理が出てきそうですね。）
下の表が、「正方形」「立方体」そして「超立方体」用の
パスカル風三角形です。
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２ １ |
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２ は頂点の個数 |
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４ ４ １ |
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４ は頂点の個数 ４ は辺の個数 |
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８ １２ ６ １ |
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８ は頂点の個数 １２ は辺の個数 ６ は面の個数 |
そして、４次元の正方形である超立方体（正８胞体）では・・・
１６ ３２ ２４ ８ １
１６個の頂点、３２個の辺、２４個の面、そして８個の胞がありました。
● ２項定理 ●
パスカルの三角形といったら・・・、２項定理ですね。
（ａ＋ｂ）１ ＝ １ａ ＋ １ｂ
（ａ＋ｂ）２ ＝ １ａ２ ＋ ２ａｂ ＋ １ｂ２
（ａ＋ｂ）３ ＝ １ａ３ ＋ ３ａ２ｂ ＋ ３ａｂ２ ＋ １ｂ３
（ａ＋ｂ）４ ＝ １ａ４ ＋ ４ａ３ｂ ＋ ６ａ２ｂ２ ＋ ４ａｂ３ ＋ １ｂ４
（ａ＋ｂ）５ ＝ １ａ５ ＋ ５ａ４ｂ ＋ １０ａ３ｂ２ ＋ １０ａ２ｂ３ ＋ ５ａｂ４ ＋ １ｂ５
そうそう、展開（てんかい）したときの係数に
頂点や辺の個数が出てきたのです。
だったら、「正方形」や「立方体」や「超立方体」の頂点や辺の個数だって、
何かの式を展開して出てこないかな〜って思いますよね。
それはもう、さっきのパスカル風三角形を
じ〜っとながめれば、すぐに出てくるというものです。
でも、せっかくですから、ちょっとまわり道してみましょう。
● ３次元のパスカルの三角形 ●
このホームページの「パスカルの三角形」を見ていただけましたか。
そこでは、碁盤（ごばん）の目のような道で、
行き方が何通りあるかを考えましたね。
だったら、これを２次元の平面でなくって、
３次元の空間にしたらどうなるでしょう。
さしずめ、３次元のパスカルの三角形ですね。
さて、それぞれの頂点にたどりつく方法は、
何通りあるかを書いていきましょう。
でも、この図に書きこむと、読めなくなってしまいそうです。
そこで、ちょうど建物（たてもの）の設計図（せっけいず）のように、
１階、２階、３階・・・のように、書いていくことにしましょう。
でも、ちょっとふつうとかえて、
０階からということにしましょう。
こうすると、０階はｃの０乗、１階はｃの１乗、２階はｃの２乗・・・
となって、つごうがいいのです。
今度は、下の階から上がってくる方法も
わすれずにたし算しましょう。
もちろん、０階はふつうのパスカルの三角形になっていますね。
えっ、今度は ａ や ｂ がついているって？
今回はややこしいので、２項定理いえ３項定理をみこして
最初からつけておいただけです。
さて、表ができたところで、「パスカルの三角形」でやったように、
（小さい立方体の一辺を１歩として）
１歩でいけるところ、２歩でいけるところ、３歩でいけるところ・・・
を考えてみましょう。
そんなところがどこか、すぐにわかりますよね。
あとは、「パスカルの三角形」でやったのと同じようにして
次の３項定理（じつは、ただの展開）がでてきます。
（ａ＋ｂ＋ｃ）１ ＝ １ａ＋１ｂ
＋１ｃ
（ａ＋ｂ＋ｃ）２ ＝ １ａ２＋２ａｂ＋１ｂ２
＋２ａｃ＋２ｂｃ
＋１ｃ２
（ａ＋ｂ＋ｃ）３ ＝ １ａ３＋３ａ２ｂ＋３ａｂ２＋１ｂ３
＋３ａ２ｃ＋６ａｂｃ＋３ｂ２ｃ
＋３ａｃ２＋３ｂｃ２
＋１ｃ３
（ａ＋ｂ＋ｃ）４ ＝ １ａ４＋４ａ３ｂ＋６ａ２ｂ２＋４ａｂ３＋１ｂ４
＋４ａ３ｃ＋１２ａ２ｂｃ＋１２ａｂ２ｃ＋４ｂ３ｃ
＋６ａ２ｃ２＋１２ａｂｃ２＋６ｂ２ｃ２
＋４ａｃ３＋４ｂｃ３
＋１ｃ４
● 超立方体 ●
さて、上の３項定理で、ａ＝ｂ としてみましょう。
（２ａ＋ｃ）１ ＝ ２ａ＋１ｃ
（２ａ＋ｃ）２ ＝ ４ａ２＋４ａｃ＋１ｃ２
（２ａ＋ｃ）３ ＝ ８ａ３＋１２ａ２ｃ＋６ａｃ２＋１ｃ３
（２ａ＋ｃ）４ ＝ １６ａ４＋３２ａ３ｃ＋２４ａ２ｃ２＋８ａｃ３＋１ｃ４
これらの式を展開したら、ちゃ〜んと
「正方形」や「立方体」や「超立方体」の頂点や辺の個数がでてきましたね。
でも、こんなのパスカル風三角形をじ〜っとながめたら、
すぐにわかったことですよね。
そして、さらに２項定理までもどると・・・
（ａ＋ｂ）１ ＝ １ａ ＋ １ｂ
（ａ＋ｂ）２ ＝ １ａ２ ＋ ２ａｂ ＋ １ｂ２
（ａ＋ｂ）３ ＝ １ａ３ ＋ ３ａ２ｂ ＋ ３ａｂ２ ＋ １ｂ３
（ａ＋ｂ）４ ＝ １ａ４ ＋ ４ａ３ｂ ＋ ６ａ２ｂ２ ＋ ４ａｂ３ ＋ １ｂ４
ここで、 ａ＝２ ， ｂ＝−１ を入れてみましょう。
１ ＝ ２ − １
１ ＝ ４ − ４ ＋１
１ ＝ ８ − １２ ＋ ６ −１
１ ＝ １６ − ３２ ＋ ２４ − ８ ＋ １
そしてこれより、
４ − ４ ＝ ０
８ − １２ ＋ ６ ＝ ２
１６ − ３２ ＋ ２４ − ８ ＝ ０
これは、「正方形」や「立方体」や「超立方体」でも、
このホームページの「４次元」でやった（じつは、とばした？）
次の式がなりたっているということですね。
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えっ、２項定理でいいのなら、
いままで何をしてきたのだろうって？（まあ、い〜じゃないの）
とりあえず、こんなふうにして、何次元の立方体でも、
かんたんに頂点や辺の個数がかぞえられそうですね。
● 多項定理 ●
じつは、３項定理なんて、だ〜れもいわないのです。
（もちろん、３次元のパスカルの三角形なんていうのも・・・）
２項定理の次は、いきなり多項定理（たこうていり）なのです。
そして、これは高校のお勉強なのです。
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（ａ＋ｂ＋ｃ＋・・・）ｎ の展開式の一般項は ｎ！ （ ｐ＋ｑ＋ｒ＋・・・＝ｎ ， ｐ，ｑ，ｒ・・・≧０ ）
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これは、３次元よりもっと高い次元のパスカルの三角形を使う・・・
はずがありません。
たんに、展開して同類項がいくつあるか数えるだけです。
たとえば、（ａ＋ｂ＋ｃ）４ を展開すると、
ａ２ｂｃ の係数が１２、つまり＋１２ａ２ｂｃ がでてくるということは、
「パスカルの三角形」でやったように、
ａ，ａ，ｂ，ｃ のならべ方が
ａａｂｃ ， ａａｃｂ ，ａｂａｃ ， ａｂｃａ ，ａｃａｂ ，ａｃｂａ ，
ｂａａｃ ， ｂａｃａ ，ｂｃａａ ， ｃａａｂ ，ｃａｂａ ，ｃｂａａ ，
のように、１２通り あるということです。
そして、そのａ，ａ，ｂ，ｃ のならべ方が何通りあるかというのが、
４！
---------- （通り）
２！１！１！
で計算できるというのです。
ここで、４ というのは （ａ＋ｂ＋ｃ）４ の ４
２，１，１ は ａ２ｂｃ つまり ａ２ｂ１ｃ１ の ２，１，１ です。
そして、「！」は階乗（かいじょう）といって、
４！＝４×３×２×１＝２４
のように、１ずつへらしながら１になるまでかけ算する記号です。
これはちょうど、ことなる４つのものを４つともならべる方法になっています。
ところが、ａ，ａ，ｂ，ｃ のならべ方は、ａ，ａ，と同じものがあるので、
これよりへります。
何分の１にへるかと考えることによって、
４！
---------- （通り）
２！１！１！
とすぐにでてくるのです。
そして、これを計算すると
４！ ４・３・２・１
---------- ＝ ---------- ＝ １２
２！１！１！ ２・１・１・１
と、ちゃ〜んと １２ とでてきます。
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小林吹代
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