２の累乗の計算

●　質問　●

　treoasさんから、質問のメールをいただきました。

　まるで、このホームページのために作ってくださったような質問で、
うれしくなってしまいます。

　それは、２の１６乗とか１７乗のような、
２の累乗（るいじょう）の計算のやりかたでした。

　わかりやすいように、しっかり例までつけてくださっていたので、
その例の方をのせさせていただきます。

　

2のx乗について、xが10以上の時は次のようにして求めることができる。（途中略） 　（例）　２の１６乗 　　　　　２の６乗は６４で、これを１０００倍する　　　　　６４０００ 　　　　　２の７乗は１２８で、これを１０倍する　　　　　　　１２８０ 　　　　　２の８乗は２５６で、これはそのまま　　　　＋）　　 ２５６ 　　　　　　　　　　　　　　　　　これをたすと　　　　　　　　６５５３６ 　 　（例）　２の１７乗 　　　　　２の７乗は１２８で、これを１０００倍する　　　１２８０００ 　　　　　２の８乗は２５６で、これを１０倍する　　　　　　　２５６０ 　　　　　２の９乗は５１２で、これはそのまま　　　　＋）　　 ５１２ 　　　　　　　　　　　　　　　　　これをたすと　　　　　　　１３１０７２ 　 　（例）　２の２０乗 　　　　　２の１０乗は１０２４で、これを１０００倍する　　　１０２４０００ 　　　　　２の１１乗は２０４８で、これを１０倍する　　　　　　　２０４８０ 　　　　　２の１２乗は４０９６で、これはそのまま　　　　＋）　　 ４０９６ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　これをたすと　　　　　　　１０４８５７６ 　 　　さらに上の例のように、１０乗をこえたら、 　おなじようにくりかえしてもできる。 　　　　　２の１０乗は１０２４で、これを１０００倍する　　　１０２４０００ 　　　　　２の１１乗は同じようにして（１０倍するのを忘れずに） 　　　　　　　　　　　２の１乗は２で、これを１００００倍する　　　２００００ 　　　　　　　　　　　２の２乗は４で、これを１００倍する　　　　　　　４００ 　　　　　　　　　　　２の３乗は８で、これを１０倍する　　　　　　　　 　8０ 　　　　　２の１２乗は同じようにして 　　　　　　　　　　　２の２乗は４で、これを１０００倍する　　　　４０００ 　　　　　　　　　　　２の３乗は８で、これを１０倍する　　　　　　　　８０ 　　　　　　　　　　　２の４乗は１６で、これはそのまま　　　　　　　 １６ 　　　　　これらを全部たすと　　　　　　　　　　　　　　　＋）　　 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１０４８５７６

　それで・・・？

　どうして、こんなふうにして計算してよいのかという質問でした。

●　２¹⁰　●

　さて、どうしてこんな計算でうまくいくのでしょうか。

　そのわけは、このホームページの＜お勉強＞の「２^３０」に
でてきました。

　そこでは、こんなことを使っていましたね。

　２の１０乗は、

　　　２×２×２×２×２×２×２×２×２×２　（１０回かける）
　＝（２×２×２×２×２）×（２×２×２×２×２）
　＝　３２×３２
　＝　１０２４
　≒　１０００

　じつは、「２の１０乗は１０２４」がネタなのです。

　これが、

　　　　　１０２４＝１０００　＋　２０　＋　４

　　　　　　　　　＝１０００　＋　２×１０　＋　２^２

　　　　　　　　　＝１×１０００　＋　２×１０　＋　２^２

となっていることがポイントです。

　それでは、これを使って「２の１６乗」を計算してみましょう。

　そのまえに、かくにんです。

　　２を６回かけたものと、２を１０回かけたものをかけ算すると、
２を何回かけたものになりますか。

　もちろん、６回と１０回で、あわせて１６回かけたことになりますね。

　　　　　２^６×２^１０＝２^１６

　では、いよいよ「２の１６乗」の計算です。

　　　　 ２^１６＝２^６×２^１０

　　　　　　　＝２^６×１０２４

　　　　　　　＝２^６×(１×１０００　＋　２×１０　＋　２^２）

　　　　　　　＝２^６×１×１０００　＋　２^６×２×１０　＋　２^６×２^２

　　　　　　　＝２^６×１０００　＋　２^７×１０　＋　２^８

　ですから、

　（例）　２の１６乗

　　　　　２の６乗は６４で、これを１０００倍する　　　　　６４０００

　　　　　２の７乗は１２８で、これを１０倍する　　　　　　　１２８０

　　　　　２の８乗は２５６で、これはそのまま　　　　＋）　　 ２５６

　　　　　　　　　　　　　　　　　これをたすと　　　　　　　　６５５３６

というふうに計算できるのです。

　さて、今回の質問は、もしかしたら自作自演（じさくじえん）じゃないかって？

　い〜え！とんでもありません。

　れっきとしたtreoasさんからの質問でした。

　それでは、どうもありがとうございました。

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