負の整数でわったあまり
● わり算のあまり ●
今回は、50歳半ばをすぎた方からの質問です。
ご本人は、
「算数・数学は、すっかり忘れていて、
とんちんかんな質問なのかもしれません。」
なんておっしゃっていますが、と〜んでもない。
「亀（かめ）の甲（こう）より年の功（こう）」
とは、よくいったものです。
（失礼だったら、ごめんなさい！）
さて、質問は、このホームページの、
＜お勉強＞の「何曜日？」にかんしたものでした。
曜日をもとめる公式では、
わり算のあまりをもとめないといけませんでしたね。
そこでは、負の数を正の数でわったあまりについて、
しょうかいしていました。
でも、・・・
|
・・・（略） あまりはわる数より小さい、のほかにもう１つ習いましたね。 あまり というくらいですから たりない ではこまります。 あまりは ０以上 でした！ （−２５）÷７ ＝ （−４） あまり ３ ここまでは分かりました。で、 ２５÷（−７） ＝ の式でつまずきました。 −７より小さくて、０以上の数とは…… （略）・・・
|
いや〜、するどい質問ですね。
だって、公式では、７でわったあまりしかいらないのに、
（−７）ならどうなるのだろう、と考えたからです。
これって、つまずいたというよりは、
さんすう・数学ではおなじみの、
もっと広げて考えられないか、ということですね。
● 剰余系（じょうよけい） ●
７でわったあまりは
０ ， １ ， ２ ， ３ ， ４ ， ５ ， ６
と７つもあります。
これが多いというのもなんですが、
とりあえず、もっと少なくして、
これからは、３でわったあまりで考えていくことにしましょう。
３でわったあまり・・・
もちろん、正の整数なら、３でわったあまりは
０ ， １ ， ２
と３つしかありません。
これを、負の整数にも広げるとき、
なんてったって３でわるのですから、
やっぱり、あまりは
０ ， １ ， ２
の３つしかないことにしよう、としたのです。
つまり、正の整数も０も負の整数も、ぜ〜んぶひっくるめた整数を、
あまりで分類（ぶんるい）すると、
０ ， １ ， ２
のどれかになるように、したかったのです。
そうすると、たとえば５なら、
５÷３＝１ あまり ２
ですから、５ は あまりが２ に分類されます。
それなら、（−５）はどれに分類したらよいでしょうか。
こういうとき、さんすう・数学では、
いままでのことは、そのままでいけるように、
うまく広げようとします。
そうすると、どんどんマイナスの方へのばしていけば、
（−５）は あまりが１ に分類されそうです。
・・・ということは、
（−５）÷３＝（−２） あまり １
とするといいな〜ってことになってきます。
● 負の整数でわったあまり（１） ●
それでは、いよいよ負の数でわったときのあまりです。
たとえば、（−３）でわったあまりです。
（−３）でわったあまりなんて、きいたこともありませんね。
でも、いままでのことは、そのままでいけるように、
うまく広げられるのなら、それでいいのです。
（さらに、それが役だったり、みんなが使ってくれるのなら、もっといいですね。）
やってみましょう。
そうすると、たとえば
５÷（−３）＝−１ あまり ２
となって、とってもいいですね。
どこがいいかって？
だって、
５÷３＝１ あまり ２
ですから、３でわったあまりも、（−３）でわったあまりもおなじだからです。
それなら、これからは、
負の数でわったあまりなんて、いちいち考えなくてもすむということです。
つまり、わりざんのあまりを考えるときは、
わる数は正の整数だけでいいってことになります。
● 負の整数でわったあまり（２） ●
さて、質問にもどりましょう。
２５÷（−７） ＝
でしたね。
これは、
２５÷７＝３ あまり ４
とおなじで、
２５÷（−７） ＝ （−３）あまり ４
と（うまく約束すれば）なりそうです。
じつは、このメールをくださった方は、
ご自分で、ちゃんと答えをみつけていらしたのです。
|
・・・（略） 25÷（−7）＝−（25÷7）＝−3.57.... あまりの部分は，−0.57...に−7をかけて4ではいけないのでしょうか?
|
もちろん、４でいいですね。
えっ、このせつめいの方が、だんぜんわかりやすいって？
そうなると、これまでのは、長い長いまわり道だったような気もしてきます。
でも、人生（？）、そんなものですよね〜。
掲載内容の無断転載、転用、編集を禁じます。(c)
小林吹代
All Rights Reserved, （c）kobayashi fukiyo , 2001