ｎ！の０の個数

●　階乗（かいじょう）　●

　こんなメールをいただきました。

　今年、中学１年生になられた方からです。

　

質問なのですが・・・・ 　階乗で末尾に０が何個つくか簡単に調べられるっていわれたんですけど・・・・ 　わからないんです。 　１０！　とか小さい数ならできるんですけど・・・・ 　３０００！　とかになるとわからないんです。 　やり方を教えてもらえませんか？

　中学１年生で、階乗（かいじょう）を知っているってことから、おどろきです。

　だって、階乗っていうのは、高校でお勉強することですから・・・。

　それでは、まず階乗についてです。

　階乗は階段（かいだん）のような（？）乗法（じょうほう）、つまりかけ算です。

　階段をおりるとき、たとえば５段の階段なら

　　　　　５段　，　４　段　，　３段　，　２段　，　１段

っていうぐあいにおりますよね。

　これらをかけ算すると、

　　　　　５×４×３×２×１

となります。

　これを、５の階乗といって、　５！　とあわわすのです。

　つまり、

　　　　　５！＝５×４×３×２×１

　　　　　　　＝１２０

　ほかにも、こんなぐあいになりますね。

　　　　　１！＝１

　　　　　２！＝２×１＝２

　　　　　３！＝３×２×１＝６

　　　　　４！＝４×３×２×１＝２４

　　　　　５！＝５×４×３×２×１＝１２０

　　　　　６！＝６×５×４×３×２×１＝７２０

　　　　　７！＝７×６×５×４×３×２×１＝５０４０

　　　　　８！＝８×７×６×５×４×３×２×１＝４０３２０

　　　　　９！＝９×８×７×６×５×４×３×２×１＝３６２８８０

　　　　　１０！＝１０×９×８×７×６×５×４×３×２×１＝３６２８８００

　ずいぶん大きな数になってきましたね。

　これでは、１０！ならいいけど、
３０００！なんて気が遠くなりますね。

●　階乗で末尾（まつび）の０の個数　●

　さて、質問はこうでしたね。

　　　　　１０！＝１０×９×８×７×６×５×４×３×２×１＝３６２８８００

なら、おしりの方に０が２個ついています。

　では、３０００！なら、おしりの方に０が何個ついているか
というのです。

　じつは、この問題は、

　　　　　わりきれる？わりきれない？

といった問題です。

　もちろん、１０で何回わりきれるかということです。

　１０！なら、１０で２回はわりきれるけれど、
３回わりきることはできないから、
おしりの方に０が２個つくけど、３個はつかないのです。

　そして、

　　　　　わりきれる？わりきれない？

といったことは、

　　　　　素因数分解（そいんすうぶんかい）

の問題なのです。

　素因数分解というのは、まるで遺伝子情報（いでんしじょうほう）のように、
わりきれる？わりきれない？といったすべての情報なのです。

　　　　　１０＝２×５

ですから、

　　　　　１０で何回わりきれるか

といのは、

　　　　　素因数分解したら、２と５がセットで何回でてくるか

というのと同じことです。

　たとえば、

　　　　　４！＝４×３×２×１＝２４

が１０で１回もわりきれず、そのためおしりに０がつかない
そのわけは、

　　　　　４！＝４×３×２×１

　　　　　　　＝２×２×３×２

　４！の素因数分解に２は３回も出てくるけど、
５は１回も出てこないので、
けっきょく、２と５のセットは１セットもできないからです。

　そして、

　　　　　５！＝５×４×３×２×１＝１２０

が１０で１回はわりきれるけど、１０で２回はわりきれず、
そのためおしりに０は１個つくけれど、２個はつかない
そのわけは、

　　　　　５！＝５×４×３×２×１

　　　　　　　＝５×２×２×３×２

　５！の素因数分解に２は３回も出てくるけど、
５は１回しか出てこないので、
けっきょく、２と５のセットは１セットしかできないからです。

　それでは、つぎに、階乗のなかに、
２や５が何回でてくるかを、みていくことにしましょう。

●　階乗での素因数の個数　●

　さあ、これから１０！が２で何回わりきれるか、
つまり１０！の素因数分解に２が何回でてくるかをみていきましょう。

　　　　　１０！＝１０×９×８×７×６×５×４×３×２×１＝３６２８８００

　ここで、いきなり素因数分解せずに、じゅんをおってやっていきます。

　　　　　１０，９，８，７，６，５，４，３，２，１

つまり、（たんに、小さい数から書きなおしただけですが・・・）

　　　　　１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０

の中で、２でわりきれるものは（２の倍数は）

　　　　　１０÷２＝５

なので、５（個）あります。

　それらは、

　　　　　２×１，２×２，２×３，２×４，２×５

つまり

　　　　　　　２　，　４　，　６　，　８　，　１０

です。

　のこりの、

　　　　　　　１　，　３　，　５　，　７　，　９

からは、２がでてくる心配（しんぱい）はいらなくなりました。

　さて、

　　　　　　　２　，　４　，　６　，　８　，　１０

つまり、

　　　　　２×１，２×２，２×３，２×４，２×５

からでてくる２の個数ですが、
まず、これら５個の２をのぞいて、
あとどれだけ２がでてくるかをみていくことにします。

　つまり、

　　　　　２×１，２×２，２×３，２×４，２×５

から２をとりのぞいた、

　　　　　　　１，　　　２，　　３，　　４，　　５

から、まだどれだけ２がでてくるかをみていくのです。

　それは、

　　　　　５÷２＝２　あまり　１

なので、２（個）あります。

　それらは、

　　　　　２×１，２×２

つまり

　　　　　　　２　，　４

です。

　１，　２，　３，　４，　５　のうちの、のこりの

　　　　　　　１　，　３　，　５

からは、２がでてくる心配（しんぱい）はいらなくなりました。

　さて、

　　　　　　　２　，　４

つまり、

　　　　　２×１，２×２

からでてくる２の個数ですが、
さらに、これら２個の２をのぞいて、
あとどれだけ２がでてくるかをみていきます。

　つまり、

　　　　　２×１，２×２

から２をとりのぞいた、

　　　　　　　１，　　　２

から、まだどれだけ２がでてくるかをみるのです。

　それは、

　　　　　２÷２＝１

なので、１（個）あります。

　つまり、

　　　　　２×１

の２です。

　これらを全部あわせると、１０！の素因数分解には２が

　　　　　５＋２＋１＝８（個）

でてくることがわかります。

　まとめると、こんな計算になります。

　　　　　１０÷２＝５　　　　　　　　　　　５　（個）

　　　　　５÷２＝２　あまり　１　　　　　２　（個）

　　　　　２÷２＝１　　　　　　　　　　　　１　（個）

　　　（　１÷２　＝０　あまり　１　　　　　０　（個）　）

　　　　　あわせて　　　　　５＋２＋１＝８　（個）

　つまり、１０！は
１０で２回はわりきれるけど、１０で３回はわりきれず、
そのためおしりに０は２個つくけれど、３個はつかないのです。

　今回、わざわざ２と５のでてくる個数をしらべましたが、
２と５のセットとなると、少ない方になりますから、
５のでてくる個数だけしらべればよいことになります。

●　３０００！の末尾（まつび）の０の個数　●

　では、３０００！なら、おしりの方に０が何個ついているか
計算してみましょう。

　この問題は、２と５で何回われるかということで、
けっきょく、５で何回われるかということになったのですね。

　さいごに、公式（こうしき）などにまとめるときは、
ちょっと、ちがったふうに計算します。

　　　　　３０００÷５＝６００

は、３０００　と　５　しか使っていないのでいいのですが、

　　　　　　６００÷５＝１２０

も、３０００　と　５　しか使わないでおきたいのです。

　そうすると、

　　　　　　６００　　　　　　６００×５　　　　　　　３０００
　　　　　--------　＝　------------　＝　----------
　　　　　　　５　　　　　　　　　５×５　　　　　　　　５^２　　

ですから、

　　　　　　６００÷５＝１２０　　のかわりに　　３０００÷　５^２　＝１２０

のようにすればよいのです。

　ちなみに、５^２　というのは　５×５　のことで、
５^３　なら　５×５×５　のことです。

　あとも、おなじようにして

　　　　　３０００÷５＝６００

　そして、公式にまとめたいなら、さらにガウス記号を使うだけのことです。

HOME（もどる）

掲載内容の無断転載、転用、編集を禁じます。(c) 小林吹代
All Rights Reserved, （c）kobayashi fukiyo , 2001