9でわったあまり |
● 不思議な数「9」? ●
こんなメールをいただきました。
【123X987=121401】 答えの 121401 は 1+2+1+4+0+1=9 となります。 【321X789=253269】 答えの 253269 は 2+5+3+2+6+9=27 27 も 2+7=9 となります。 このように 1,2,3 と 7,8,9 をどのような順番で掛けても 理由を教えて下さい。
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まるで、数のマジックみたいですね。
もちろん、きっとタネがあるのだろう・・・(するどい!)
でも、
1,2,3 も 7,8,9 も、続いた数だからかな?
1,2,3 も 7,8,9 も3個なので、3個が関係してくるのかな?
・・・なんて、考えてしまったら、
そう、あなたはマジシャンの思うつぼです。(ひっかかってはいけません!)
マジシャンは、ショーのみばえが大事ですから、
さりげなく続いた数を使ったり、3けたにそろえてみただけなのです。
じつは、3けたなんてど〜でもよくって、
123X987=121401 のかわりに
【1023X789=1009701】
答えの 1009701 は 1+0+0+9+7+0+1=18
18 も 1+8=9 としてもいいのです。
なんなら、123X987=121401 のかわりに、
123の 23 を 2+3=5 ということで、5 におきかえて
【15X789=11835】
答えの 11835 は 1+1+8+3+5=18
18 も 1+8=9 としてもいいのです。
もひとつおまけに、今度は 123X987 の 87 を
たして 8+7=15 , 1+5=6 ということで 6 におきかえて
【123X96=11808】
答えの 11808 は 1+1+8+0+8=18
18 も 1+8=9 としてもいいのです。
ますます、マジシャンにだまされそうだって?
そんなことはありません。
あっさり 123X987 の 123 も 987 もおきかえると、
123 を 1+2+3=6
987 を 9+8+7=24 ,2+4=6
ということで、どちらも6におきかえると、
123X987 は 6×6=36 , 3+6=9 となるのです。
・・・ということですが、いったいこれは何を計算しているのでしょうか。
● おまけ ●
何を計算しているかのタネあかしの前に、ちょっとより道です。
じつは、タネさえ知っていれば、「9」でなくても、いろいろな数にすることができるのです。
もちろん、なにも3けたでなくてもいいのですが、せっかくですから・・・
< 「1」 >
それでは、「1」にしてみましょう。
たとえば 1,2,8 と 3,5,6 を使います。
ほかにも 2,3,6 と 1,5,8 だっていいのです。
もちろん 5,6,9 と 2,4,8 だってかまいません。
おわかりですね。
1,2,8 も 2,3,6 も 5,6,9 も
128 は 1+2+8=11 , 1+1=2
236 は 2+3+6=11 , 1+1=2
569 は 5+6+9=20 , 2+0=2
3,5,6 も 1,5,8 も 2,4,8 も
356 は 3+5+6=14 , 1+4=5
158 は 1+5+8=14 , 1+4=5
248 は 2+4+8=14 , 1+4=5
ですから、 2×5=10 , 1+0=1 にするつもりなのです。
もちろん、 1×1=1 というふうにしたかったら、
たとえば、1,2,7 と 4,6,9 とすればいいですね。
127 は 1+2+7=10 , 1+0=1
469 は 4+6+9=19 , 1+9=10 ,1+0=1
となりますからね。
・・・と、長いまえおきになりましたが、やってみましょう。
【128X356=45568】
答えの 45568 は 4+5+5+6+8=28
28 は 2+8=10
10 は 1+0=1 となります。
【812X536=435232】
答えの 435232 は 4+3+5+2+3+2=19
19 は 1+9=10
10 は 1+0=1 となります。
ほかにも、ためしてみてください。
< 「2」 >
それでは、「2」にしてみましょう。
1×2=2 ということで、たとえば
1,2,7 と 3,8,9 を使います。
【127X389=49403】
答えの 49403 は 4+9+4+0+3=20
20 は 2+0=2
【271X398=107858】
答えの 107858 は 1+0+7+8+5+8=29
29 は 2+9=11
11 は 1+1=2 となります。
ほかにも、ためしてみてください。
< 「3」 >
それでは、「3」にしてみましょう。
1×3=3 ということで、たとえば
1,2,7 と 3,4,5 を使います。
【127X345=43815】
答えの 43815 は 4+3+8+1+5=21
21 は 2+1=3 となります。
ほかにも、ためしてみてください。
< 「4」 >
それでは、「4」にしてみましょう。
1×4=4 ということで、たとえば
1,2,7 と 5,8,9 を使います。
もちろん 2×2=4 ということで、さきほどでてきた
1,2,8 と 5,6,9 を使ってもいいですね。
【127X589=74803】
答えの 74803 は 7+4+8+0+3=22
22 は 2+2=4 となります。
ほかにも、ためしてみてください。
< 「5」 >
それでは、「5」にしてみましょう。
1×5=5 ということで、たとえば
1,2,7 と 3,5,6 を使います。
【127X356=45212】
答えの 45212 は 4+5+2+1+2=14
14 は 1+4=5 となります。
ほかにも、ためしてみてください。
< 「6」 >
それでは、「6」にしてみましょう。
2×3=6 ということで、たとえば
1,2,8 と 3,4,5 を使います。
もちろん 1×6=6 ということで、たとえば
1,2,7 と 3,4,8 を使ってもいいですね。
【128X345=44160】
答えの 44160 は 4+4+1+6+0=15
15 は 1+5=6 となります。
ほかにも、ためしてみてください。
< 「7」 >
それでは、「7」にしてみましょう。
1×7=7 ということで、たとえば
1,3,6 と 4,5,7 を使います。
【136X457=62152】
答えの 62152 は 6+2+1+5+2=16
16 は 1+6=7 となります。
ほかにも、ためしてみてください。
< 「8」 >
それでは、「8」にしてみましょう。
2×4=8 ということで、たとえば
3,8,9 と 2,5,6 を使います。
もちろん 1×8=8 ということで、たとえば
1,2,7 と 3,6,8 を使ってもいいですね。
【389X256=99584】
答えの 99584 は 9+9+5+8+4=35
35 は 3+5=8 となります。
ほかにも、ためしてみてください。
< 「9」 >
それでは、「9」にしてみましょう。
あっ、そうそう、これがもともとの質問でしたね。
ということで、パス!
< 「10」 >
それでは、「10」にしてみましょう・・・なんて、いいません。
だって、10 は 1+0=1 ですからね。
ということで、ふりだしにもどって、おしまい!
● mod 9 ●
おつかれさまでした。
ここまでやっていうのも何ですが・・・
こんな計算をいくらやっても、さんすう・数学というよりは、パズルですね。
話をもとにもどすと、各位をどんどんたし算していってもとめたものは、
いったい何なのでしょうか・・・ということでした。
それはズバリ、9でわったときの「あまり」です。
9でわったときのあまりは、
「0」,「1」,「2」,「3」,「4」,「5」,「6」,「7」,「8」
の9通りですが、これをもとめる便利(べんり)な方法が、いままでやってきたものなのです。
たとえば、123÷9 のあまりは
123÷9=13・・・6
ということで、あまりは「6」です。
このあまりの「6」が、いままでやってきたように
123 は 1+2+3=6
というように、かんたん出てくるのです。
ですから、123の順番(じゅんばん)を入れかえても
123÷9
132÷9
213÷9
231÷9
312÷9
321÷9
のあまりは、ぜんぶ同じで「6」になります。
さて、ではどうして123÷9 のあまりが
1+2+3=6
というように、かんたん出てくるのでしょうか。
これを、123個のお菓子(かし)を9人で分けるときで考えてみましょう。
まず、123個のお菓子を
123=100+20+3
=1×100+2×10+3×1
100個の皿1つ と 10個の皿2つ と 1個の皿3つ とにわけます。
「あまり」が問題なので、いくつもらえるかは気にしないというのがミソですよ。
ですから、わけられる分はどけてしまうといいのです。
9人でわけるのですから、9×11=99 はどけておきます。
9人でわけるのですから、9×1=9 はどけておきます。
そうすると、
100個の皿からは99個をどけて、
10個の皿からは 9個をどけることになります。
そうしておいて、のこりを9人で分けたときのあまりを考えるのです。
100個の皿にはまだ1個のこっていて、これが1皿
10個の皿にはまだ1個のこっていて、これが2皿
1個の皿はそのまま1個で、これが3皿
つまり あわせて 1+2+3=6個 のお菓子を分けることになります。
いまは、6個となって、
分ける人数の9人より少なくなったので、これが「あまり」です。
でも、もしまだ分けられるようでしたら、
めんどうでも、もう一度皿にのせて考えればいいのです。
えっ、いま問題になっているのは、123X987であって、
片方(かたほう)だけの 123 ではないって?
いいんです!
123×987を9でわった余りを考えればいいだけです。
123 を 9でわったあまりは 1+2+3=6
987 を 9でわったあまりは 9+8+7=24 , 2+4=6
となって、どちらも 6あまります。
123×987={(わりきれる)+6}×{(わりきれる)+6}
これを9でわったあまりを考えるのですが、
なんてったって、わりきれるものは、これを何倍したってわりきれるのですから、
どけてしまえばいいのです。
(展開すると)けっきょく、6×6=36 を 考えればよいことになり、
3+6=9 となります。
えっ、9個あまるのなら、もう1個ずつ分けて、あまりは「0」だって?
そうですね。あまりは「0」です。
じつは、このやり方では、1けたということで
「1」から「8」までは、バッチリあまりそのものが出てきますが、
わりきれるとき、つまり、あまりが「0」のときだけは「9」と出てきてしまうのです。
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小林吹代
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