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別解（中学入試問題） |
● アメリカより ●
松島宏和様から中学入試問題の別解が寄せられました。
何と、現在家族とともに米国に在住しておられるそうです。
小学校4年生の子を持つ父親だそうですが、さすがインターネットと実感しました。
さて、その中学入試問題というのは、次のものです。
| １ ２ ３ ----＋----＋---- ＝ １ ａ ｂ ｃ ただし、ａ、ｂ、ｃは自然数。 ｂは奇数で、ｃは３の倍数ではない。
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前々回のホームページでは、次の解を見つけました。
| １ ２ ３ (1) ----＋----＋---- ＝ １ ２ ７ １４ １ ２ ３ １ ２ ３
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そして、このホームページでは次のことを問題にしていました。
これ以外に解があるのでしょうか？
こういう問題は小学生はどうやって解くのでしょうか？
● 松島宏和様の解答 ●
松島宏和様は、石田透様の解答を賞賛していましたが、
「a-1 は 3 で割り切れない」という事実に（小学生でなくても？）なかなか気づけないと指摘していました。
そして、以下が「多少小学生らしいのでは」と提案されています。
（多少、文面を変えてあります。よろしくご了承ください。）
| まず、石田様の解法の通り変形します。 1/a + 2/b + 3/c = 1 を変形すると a(2c+3b) = (a-1)bc となります。 2c+3b は、2 でも 3 でも割り切れないので、a は偶数となります。 (そうでないと、左辺と右辺で矛盾する。) そして a が偶数なので c も偶数になります。 ここから、 a は偶数、bは奇数、c は偶数で３の倍数ではない、 という条件をもとに、a, b, c,のとりうる値を小さい方から列挙します。 a ＝ 2, (4), 6, 8, (10),
12,…(4,10…はa-1が3で割り切れないという条件を入れると除外される) a=6の場合 (b=5, あるいはc=8と設定しても結果は同じ) (b=3, あるいはc=4のケースは実施済みゆえ検証不要) これを代入すると 1より小さくなってしまう。 a=4の場合 b, c,
のとりうる最小の値は上記より b=5, c=8となるが、 これを代入すると 1/4 + 2/5 + 3/8 = 41/40 > 1 (該当せず) 次に、2番目に小さいb=7 (cは8のまま)を代入すると 1/4 + 2/7 + 3/8 = 51/56 < 1 よって、bをこれ以上大きくしても該当ナシであることが判明。 さらに、bは5のままで、cを2番目に小さい10で代入すると
上記・「条件あり」のケースと全く同じ論理で、以降のケースでは等式を満たす値はない。
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さて、あくまでも私自身の問題ですが、松島様ではなく石田透様の解答を拝見した段階で、
すぐに自分の問題に対する取り組み方を反省しました。
さまざまなテクニックよりも、まず考えるべきは、問題に対する大まかな見通しだったのです。
1/a も 2/b も 3/c も、 a やb やc が大きくなると、どれも（非常に）小さくなるということに気づくべきでした。
その（非常に）小さいものを３個たすと、（大きな？） 1 になるという段階で、可能性は限られてくるのです。
つまり、松島様のような「しらみつぶし方式」が可能なのです。
a とb とc のどれかが小さい場合からやっていく のは当然のことです。
それは、1/a や 2/b や 3/c の中にそこそこ大きなものが１つでもあれば、
残りの（非常に）小さいものと合わせて１になる可能性が残されているということなのです。
純粋に小学生向きなら、a が偶数や c が偶数にも気づかないとして、
ｂは奇数で、ｃは３の倍数ではないことから順に見ていくしかないのかもしれません。
あくまでも、a とb とc を平等に順繰りに見て、小さい場合からやっていくようにして・・・・・・。
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小林吹代
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