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大学入試問題 |
● 今度は大学入試問題 ●
久しぶりに（嫌みではないですよ！）数研出版の方から『数研通信』を頂きました。
正直なところ、昔よく頂いていた頃は「そのうち・・・・・・」と思いながら、そのまま本立てに直行したものです。
もっとも、「そのうち・・・・・・」なる日は、永遠に訪れないのが常でしたが。（せっかく頂きながら、スミマセン！）
ところが、本当に久しぶりだったので、パラッパラッと開いてみる気になりました。
で、目にとまったのが次のページです。
| １ １ １ １ １ ----＋----＋----＋----＋---- ＜ １ を満たす自然数ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅに対して ａ ｂ ｃ ｄ ｅ １ １ １ １ １ 柳田 五夫 |
紹介されていたのは次の入試問題で、
柳田先生はさらに上記タイトルのように（上記のタイトル以外にも）拡張して考察されていました。
（そのうち数研出版のホームページにアップされると思いますので、興味があったら見てみてください。）
| １ １ (1) ａ、ｂ を ａ＜ｂ 、----＋---- ＜ １ を満たす自然数とするとき、 ａ ｂ １ １ ５ １ １ １ １ １ １ ４１ [０６ 富山大] |
● 小学生向きに ●
ここからは『数研通信』とは無関係ですので、（いつものように？）まちがい等が見つかりましても
数研出版には問い合わせないようにお願いいたします。（営業妨害になってしまいますので・・・・・・）
（もちろん、これから書くことは、柳田先生にも何の責任もありません。）
さて、さすがに「証明」となると、小学生には無理ですね。
それでは、この大学入試問題 を 中学入試問題（？）にアレンジしてみることにしましょう。
とはいっても、単に「証明せよ」を「いくらですか」に変えるだけのことですが・・・・・・。
ただし、小学生向きに○、△、□に直すのも面倒なので、このままａ、ｂ、ｃ を用いることにします。
| １ １ (1) ａ、ｂ を ａ＜ｂ 、----＋---- ＜ １ を満たす自然数とするとき、 ａ ｂ １ １ １ １ １ １ １ １
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正直言って、このホームページで紹介した「中学入試問題」よりも簡単ですね。
反比例ですから、分母が小さいほど大きくなることは小学生でも知っています。
（１）
一番小さい自然数ということで ａ＝１とすると、条件をみたしません。そこで、ａ＝２ とすることになります。
問題は、「ｂはいくらにすればよいか」というだけのことです。
１ １
そのｂも、ａ＝２ と条件 ----＋---- ＜ １
ａ ｂ
からすぐに求まります。
１ １
---- ＜ ----
ｂ ２
をみたすａ＝２より大きな一番小さい自然数となると、ｂ＝３です。
１ １ １ １ ５
----＋---- の最大値は、----＋---- ＝---- です。
ａ ｂ ２ ３ ６
（２）
続けてやっていきます。
ａ＝１と ｂ＝２までは確定したので、
問題は、「ｃはいくらにすればよいか」というだけのことです。
１ １ １
そのｃ も、 ａ＝１と ｂ＝２ と ----＋---- ＋---- ＜ １
ａ ｂ ｃ
つまり、
５ １ １ ５
----＋---- ＜ １ つまり ---- ＜ １− ----
６ ｃ ｃ ６
からすぐに求まります。
上の不等式をみたすｂ＝３より大きな一番小さい自然数となると、ｃ＝７です。
１ １ １ ５ １ ４１
----＋----＋---- の最大値は、----＋---- ＝---- です。
ａ ｂ ｃ ６ ７ ４２
● この先は（？） ●
５/６ や ４１/４２ の分母と分子を見比べると、分子が分母より１だけ小さいことに気付きます。
そこで、ここから先は（ｎ−１）/ｎ の次が何になるのかを見てみることにしましょう。
１ １ １ １ ｎ−１
たとえば、 ----＋----＋----＋----の最大値が------ だったとして、
ａ ｂ ｃ ｄ ｎ
次に「ｅはいくらにすればよいか」と考えるのです。
つまり、
ｎ−１ １ １ ｎ−１
------＋---- ＜ １ つまり ---- ＜ １− ------
ｎ ｅ ｅ ｎ
を満たす（ｄより大きな一番小さい）自然数ｅを求めます。
１ １
---- ＜ ----
ｅ ｎ
これからｅ＝ｎ＋１ と分かります。
ｎ−１ １ ｎ２−１＋ｎ （ｎ２＋ｎ）−１
最大値は ------ ＋------＝ ----------- ＝ ---------- となります。
ｎ ｎ＋１ ｎ（ｎ＋１） （ｎ２＋ｎ）
つまり、次も分子が分母より１だけ小さくなるのです。
こうなると、最初の５/６から次々に最大値が求まってきます。
では、やってみましょう！
【 ５/６ の次は？】
（ｎ２＋ｎ）−１
５/６ の次は、ｎ＝６ を --------------- に代入します。
（ｎ２＋ｎ）
ｎ＝６のとき、 ｎ２＋ｎ＝３６＋６＝４２となり、次の最大値は ４１/４２ と分かります。
【 ４１/４２ の次は？】
（ｎ２＋ｎ）−１
４１/４２ の次は、ｎ＝４２ を --------------- に代入します。
（ｎ２＋ｎ）
ｎ＝４２のとき、 ｎ２＋ｎ＝１７６４＋４２＝１８０６となり、次の最大値は １８０５/１８０６ と分かります。
【 １８０５/１８０６ の次は？】
（ｎ２＋ｎ）−１
１８０５/１８０６ の次は、ｎ＝１８０６ を --------------- に代入します。
（ｎ２＋ｎ）
ｎ＝１８０６のとき、 ｎ２＋ｎ＝3261636＋1806＝3263442となり、次の最大値は 3263441/3263442 と分かります。
● 証明は？ ●
さて、大学入試問題ともなると、キッチリした証明を求められてもいたしかたありません。
そのキッチリした証明は、最初に紹介させていただいた『数研通信』に柳田先生が載せられています。
そのうち数研出版のホームページにアップされると思いますので、興味があったら見てみてください。
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小林吹代
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