正方形への分割
● 正方形への分割 ●
大学３年生の方から、こんな質問のメールをいただきました。
ちょっと見るとクイズやパズルのようですが、じつは、さんすう・数学ともいえます。
そこで、問題の部分だけ、しょうかいさせていただきます。
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【問題１】 ２辺が４７と６５の長方形がある。 【問題２】 ２辺が３２と３３の長方形がある。
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これって、ユークリッドの互除法（ごじょほう）の練習問題です。
「ユークリッドの互除法」は、このホームページでも取り上げましたね。
● ユークリッドの互除法 ●
ユークリッドの互除法は、
おたがいに、わり算していくのでした。
くわしいせつめいは、＜お勉強＞の「ユークリッドの互除法」をみてください。
ここでは、けっかだけにしましょう。
【問題１】は、
２辺が４７と６５の長方形ですから、
４７と６５をおたがいにわり算していくのです。
６５÷４７＝１ あまり １８
４７÷１８＝２ あまり １１
１８÷１１＝１ あまり ７
１１÷７＝１ あまり ４
７÷４＝１ あまり ３
４÷３＝１ あまり １
３÷１＝３
ここで、
１＋２＋１＋１＋１＋１＋３＝１０（個）
これを図にすると、つぎのようになります。
● 素因数分解 ●
もちろん、このような問題は、かならずユークリッドの互除法でできる・・・
なんて、だれもいっていません。
なにしろ、つかう正方形の個数がきめられているのですから。
何個でもいいのなら、ユークリッドの互除法でいいのですが・・・。
もっとも、何個でもいいのなら、
いつだって、１辺が１の正方形でしきつめればいいですよね。
さて、ユークリッドの互除法で、
すんなりいかないのが、【問題２】です。
【問題２】は、
２辺が３２と３３の長方形ですが、
３２と３３をおたがいにわり算していくと、
あっというまにおしまいです。
３３÷３２＝１ あまり １
３２÷１＝３２
ここで、
１＋３２＝３３（個）
でも、問題は、９個の正方形でしきつめろといっているのです。
３３個なんて、とんでもないですね。
そこで、ここからはパズルです。
つまり、いろいろやってみるのです。
・・・とはいっても、デタラメではうまくいきそうにもありません。
まずは、３２と３３という数について、みてみます。
それぞれの数の素因数分解は、つぎのようになります。
３２＝２×２×２×２×２
３３＝３×１１
どうも、３３がよさそうです。（こういうところがパズルです。）
３３なら１辺が１１の正方形が３個とれます。
そこで、その３個の正方形をとりのぞいて、
ユークリッドの互除法がつかえないかなとやってみるのです。
３２−１１＝２１
つまり、２１と３３でやってみるのです。
わかりにくいので、けっかの図をさきにのせてしまいます。
それでは、２１と３３をおたがいにわり算していきます。
３３÷２１＝１ あまり １２
２１÷１２＝１ あまり ９
１２÷９＝１ あまり ３
９÷３＝３
ここで、さいしょの３個とあわせると
１＋１＋１＋３＋３＝９（個）
ああ、うまく９個になったな〜ということで、おしまい。
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小林吹代
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