質問（フィボナッチ数）

●　フィボナッチ数　●

　こんなメールをいただきました。

　

僕は大学1年です。数学の証明問題で 　Ｕｎ+2＝Ｕｎ+1+Ｕｎ　　、　Ｕ1＝Ｕ2＝1　のとき 　　　　　　　　　 Ｕｎ+1　　　　　1+√5 　　　　　ｌｉｍ --------　＝　-------- 　　　　　ｎ→∞　 Ｕｎ　　　　　　２ 　となることを証明せよというのです。 　いろんなホームページを見ても、証明法に黄金比が出てきて、 　習ってないので使えません。 　高校の知識で証明できる（漸化式による方法など）はないんでしょうか？

　大学１年なら、線形代数を学んでいるところでしょうね。

　このホームページでしょうかいした方法（ほうほう）は、
何も使っていないといいながら、じつは線形代数によるものです。

　今回は、ご希望（きぼう）どおり、
高校でお勉強する、漸化式（ぜんかしき）による方法（？）
でやってみましょう。

　さて、問題にある数列

　　　　　Ｕ_ｎ+2＝Ｕ_ｎ+1+Ｕ_ｎ　　、　Ｕ₁＝Ｕ₂＝1　

は、フィボナッチ数（列）とよばれているものです。

　　　　　Ｕ₁＝1　

　　　　　Ｕ₂＝1　

　　　　　Ｕ₃＝Ｕ₂+Ｕ_１＝１＋１＝２

　　　　　Ｕ₄＝Ｕ₃+Ｕ₂＝２＋１＝３

　　　　　Ｕ₅＝Ｕ₄+Ｕ₃＝３＋２＝５

　　　　　Ｕ₆＝Ｕ₅+Ｕ₄＝５＋３＝８

　　　　　Ｕ₇＝Ｕ₆+Ｕ₅＝８＋５＝１３

　　　　　・・・・・・

　つまり、フィボナッチ数というのは、こんな数でした。

　　　　　１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，・・・

　さて、ここで、

　　　　　　　　　 Ｕ_ｎ+11+√5
　　　　　ｌｉｍ --------　＝　--------
　　　　　ｎ→∞　 Ｕ_ｎ　　　　　　２

となることが問題ですが、その前に

　　　　　　　　　　　　　　　１
　　　　　Ｕ_ｎ　＝　----（　α^ｎ　−　β^ｎ　）
　　　　　　　　　　√5

　ここで、
　　　　　　　　　　　　1+√5　　　　　　　　 1−√5
　　　　　　　α　＝ --------　　，　β　＝ --------
　　　　　　　　　　２　　　　　　　　　　２

となることをみてみます。

　すでに、このホームページでも（中学生向きに？）やりましたが、
今回は、高校生向きにやってみようということです。

●　数列　●

　高校でお勉強する数列というのは、おもに

　　　　　等差数列（とうさすうれつ）　と　等比数列（とうひすうれつ）

です。

　そこで、問題の数列

　　　　　Ｕ_ｎ+2＝Ｕ_ｎ+1+Ｕ_ｎ　　・・・　（１）

　　　　　Ｕ₁＝Ｕ₂＝1　

を変形して、等差数列や等比数列にしてしまうのです。

　つまり、

　　　　　Ｕ_ｎ+2−αＵ_ｎ+1　＝　β（Ｕ_ｎ+1−αＵ_ｎ）　・・・　（２）

の形に変形するのです。

　ここで、αとβをどんな数にしたらよいかみてみます。

　（今のところ、さっきのαやβになるというほしょうはありません。）

　（２）から、

　　　　　Ｕ_ｎ+2−αＵ_ｎ+1　＝　βＵ_ｎ+1−αβＵ_ｎ　

　　　　　　　　　　　　Ｕ_ｎ+2　＝（α＋β）Ｕ_ｎ+1−αβＵ_ｎ　・・・　（３）

　（１）と（３）をくらべて、

　　　　　α＋β＝１　　，　αβ＝−１　　・・・　（４）

　さて、（４）をみたすαとβをもとめて、（１）を（２）の形に変形するのですが、

　（４）をみたすαとβは、次の二次方程式の解です。

　　　　　ｔ^２−ｔ−１＝０　　・・・　（５）

　そこで、解の公式を用いて（５）の解をもとめると、

　　　　　　１＋√１＋４　　　　　　　１−√１＋４　　　
　　　　ｔ＝------------　　　，　------------　　　
　　　　　　　　２　　　　　　　　　　　　　　２

　　　　＝　α　，　β

　ここで、αとβは、めでたく（？）さいしょのαとβとわかりました。

　さて、どちらがαでどちらがβでもいいですから、
（１）は次のように、２通りに（２）の形に変形できます。

　　　　　Ｕ_ｎ+2−αＵ_ｎ+1　＝　β（Ｕ_ｎ+1−αＵ_ｎ）　・・・　（６）

　　　　　Ｕ_ｎ+2−βＵ_ｎ+1　＝　α（Ｕ_ｎ+1−βＵ_ｎ）　・・・　（７）

　ここで、αとβは、はれてめでたく（？）

　　　　　　　　　　　　1+√5　　　　　　　　 1−√5
　　　　　　　α　＝ --------　　，　β　＝ --------
　　　　　　　　　　２　　　　　　　　　　２

です。

　等比数列の一般項の公式から、（６）より、

　　　　　　　Ｕ_ｎ+1−αＵ_ｎ＝（Ｕ₂−αＵ₁）β^ｎ-1　　

　　　　　　　　　　　＝（１−α）β^ｎ-1　　

　　　　　　　　　　　＝β^ｎ　　

　つまり、

　　　　　Ｕ_ｎ+1−αＵ_ｎ＝β^ｎ　　・・・　（８）

　同じようにして、（７）より

　　　　　Ｕ_ｎ+1−βＵ_ｎ＝α^ｎ　　・・・　（９）

　さて、（８）と（９）から、Ｕ_ｎ+1を消去（しょうきょ）します。

　　　　　Ｕ_ｎ+1−βＵ_ｎ＝α^ｎ　　・・・　（９）
　　　−）Ｕ_ｎ+1−αＵ_ｎ＝β^ｎ　　・・・　（８）
　　　　---------------------
　　　　（−β＋α）Ｕ_ｎ＝α^ｎ−β^ｎ　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　α^ｎ−β^ｎ　　　　　α^ｎ−β^ｎ　
　　　　　　　　　　　　　　Ｕ_ｎ＝-------------　＝　-----------
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　α−β　　　　　　　√5

　さあ、これで一般項が

　　　　　　　　　　　　　　　１
　　　　　Ｕ_ｎ　＝　----（　α^ｎ　−　β^ｎ　）
　　　　　　　　　　√5

とでましたね。

●　極限値　●

　では、いよいよ

　　　　　　　　　 Ｕ_ｎ+1
　　　　　ｌｉｍ --------　
　　　　　ｎ→∞　 Ｕ_ｎ　

をもとめてみましょう。

　さて、Ｕ_ｎ　がわかりましたから、

　　　　　　　　　　　　　　　１
　　　　　Ｕ_ｎ+1　＝　----（　α^ｎ+1　−　β^ｎ+1　）
　　　　　　　　　　√5

　　　　　　　　　　　　　　　１
　　　　　Ｕ_ｎ　＝　----（　α^ｎ　−　β^ｎ　）
　　　　　　　　　　√5

　これから、

　　　　　　　　Ｕ_ｎ+1　　　α^ｎ+1　−　β^ｎ+1　
　　　　　　　--------　＝　------------------
　　　　　　　　Ｕ_ｎ　　　　α^ｎ　−　β^ｎ　

となります。

　では、いよいよ、やってみましょう。

　　　　　　　　　 Ｕ_ｎ+1
　　　　　ｌｉｍ --------　
　　　　　ｎ→∞　 Ｕ_ｎ　

　　　　　　　　　　α^ｎ+1　−　β^ｎ+1　
　　　　　＝　ｌｉｍ　　------------------
　　　　　　　　ｎ→∞　　α^ｎ　−　β^ｎ　

　（　ここで、分子も分母も　α^ｎ　　でわります。　）

　　　　　　　　　　α　−　β（β/α）^ｎ　
　　　　　＝　ｌｉｍ　　------------------
　　　　　　　　ｎ→∞　　１　−　（β/α）^ｎ　

　　　＝　α

　（　ｎ　→　∞　のとき　（β/α）^ｎ　→　０　となるからです。）

　これで、

　　　　　　　　　 Ｕ_ｎ+11+√5
　　　　　ｌｉｍ --------　＝　--------
　　　　　ｎ→∞　 Ｕ_ｎ　　　　　　２

がでてきましたね。

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