●　ぞろ目　●

　静岡の中学校の先生からメールをいただきました。

『１７段目の秘密』というタイトルだそうです。

それは、こんなものです。

　この中学校の子どもたちは、ちゃんと文字式をつかって証明したそうです。

そればかりでなく、こんなことを考えてみたそうです。

それは、「たし算」を「かけ算」にしてみたら？・・・ってことでした。

そうしたら、おもしろいことに気づいたのです。

でも、さすがの子どもたちも、その証明まではできなかったというわけです。

●　１７段目の秘密　●

　それでは、さっそく証明しましょう・・・なんて言いません。

そう、１つの例で信じてしまってはいけません。

ためしに、いくつかやってみましょう。

まずは、『１７段目の秘密』です。

　どれも「１７段目」でぞろ目になっています。

でも、「２段目」のぞろ目と「１７段目」のぞろ目は、
「５５５」のときとちがって、いっしょにはならないですね。

もちろん、「１段目」の数は「１２３」でなくっても、なんだっていいのです。

　さて、中学校のみなさんのように、文字を使ってみていきましょう。

まず最初に、ここで数字を３つ並べたのは、たんなる「みばえ」にすぎないことに気づきますね。

だって、それぞれ各位だけの計算であって、お互いに関係してこないからです。

これは、３つ並べて「ぞろ目」という形で「みばえ」をはかっているだけなのです。

問題は、１段目の数を何にしようと、２段目の数から１７段目の数が決まってきてしまうということです。

　　　　　１段目　　１２３　　・・・　すきな数
　　　　　２段目　　５５５　　・・・　ぞろ目の数
　　　　　３段目　　６７８
　　　　　４段目　　１２３
　　　　　５段目　　７９１
　　　　　６段目　　８１４
　　　　　７段目　　５０５
　　　　　８段目　　３１９
　　　　　９段目　　８１４
　　　　１０段目　　１２３
　　　　１１段目　　９３７
　　　　１２段目　　０５０
　　　　１３段目　　９８７
　　　　１４段目　　９３７
　　　　１５段目　　８１４
　　　　１６段目　　７４１
　　　　１７段目　　５５５　・・・　ぞろ目の数

つまり、１段目の「１２３」の「１」から始めようが、「２」から始めようが、「３」から始めようが、

そんなものに関係なく、「５」だけから、１７段目は「５」になるというわけです。

それを３つ並べて、まるでスロットマシンのように「みばえ」をはかったというわけです。

いくつならべたっていいけど、ふつうスロットマシンって３つならべるようですね。

　次に、くりあがりをしないということは、どういうことなのかを考えてみましょう。

　　　　　５＋６＝１１，５＋７＝１２，５＋８＝１３　で　「１２３」　としていますが、

ここで、１，２，３　というのは　１１，１２，１３　を１０でわったあまりですよね。

　　　　　１１÷１０＝１あまり１　，１２÷１０＝１あまり２　，１３÷１０＝１あまり３　

つまり、くりあがりをしないで「１の位」を書くということは、「１０でわったあまり」を書くということです。

　さて、これでじゅんびがととのいました。

それでは、１段目の１の位を「ａ」、２段目の１の位を「ｂ」として計算してみましょう。

もちろん、１の位でなくって他の位でも同じことです。

　　　　　１段目の１の位　　　　　ａ　　
　　　　　２段目の１の位　　　　　　　　　　ｂ　　
　　　　　３段目の１の位　　　　　ａ＋　　　ｂ　　　を１０でわったあまり
　　　　　４段目の１の位　　　　　ａ＋　　２ｂ　　　を１０でわったあまり
　　　　　５段目の１の位　　　　２ａ＋　　３ｂ　　　を１０でわったあまり
　　　　　６段目の１の位　　　　３ａ＋　　５ｂ　　　を１０でわったあまり
　　　　　７段目の１の位　　　　５ａ＋　　８ｂ　　　を１０でわったあまり
　　　　　８段目の１の位　　　　８ａ＋　１３ｂ　　　を１０でわったあまり
　　　　　９段目の１の位　　　１３ａ＋　２１ｂ　　　を１０でわったあまり
　　　　１０段目の１の位　　　２１ａ＋　３４ｂ　　　を１０でわったあまり
　　　　１１段目の１の位　　　３４ａ＋　５５ｂ　　　を１０でわったあまり
　　　　１２段目の１の位　　　５５ａ＋　８９ｂ　　　を１０でわったあまり
　　　　１３段目の１の位　　　８９ａ＋１４４ｂ　　　を１０でわったあまり
　　　　１４段目の１の位　　１４４ａ＋２３３ｂ　　　を１０でわったあまり
　　　　１５段目の１の位　　２３３ａ＋３７７ｂ　　　を１０でわったあまり
　　　　１６段目の１の位　　３７７ａ＋６１０ｂ　　　を１０でわったあまり
　　　　１７段目の１の位　　６１０ａ＋９８７ｂ　　を１０でわったあまり

ここで、ａやｂの係数の

　　１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，１４４，２３３，３７７，６１０

は、このホームページでも取り上げたフィボナッチ数ですね。

さて、１７段目の　６１０ａ＋９８７ｂ　を１０でわったあまりはいくらでしょうか。

　　　　　６１０ａ＋９８７ｂ＝６１０ａ＋９８０ｂ＋７ｂ

　６１０ａ　や　９８０ｂ　は　１０　でわりきれますから、７ｂ　を　１０でわったあまりです。

ここで、あまりが　ａ　と関係ない数　になったことがポイントです。

それでは、じっさいにどうなるか見てみましょう。

＜ｂ＝１＞つまり　２段目が「１１１」のとき

　　 ７ｂ＝７×１＝７　で　１０でわったあまりは　７　だから　１７段目は「７７７」

＜ｂ＝２＞つまり　２段目が「２２２」のとき

　　　７ｂ＝７×２＝１４　で　１０でわったあまりは　４　だから　１７段目は「４４４」

＜ｂ＝３＞つまり　２段目が「３３３」のとき

　　　７ｂ＝７×３＝２１　で　１０でわったあまりは　１　だから　１７段目は「１１１」

＜ｂ＝４＞つまり　２段目が「４４４」のとき

　　　７ｂ＝７×４＝２８　で　１０でわったあまりは　８　だから　１７段目は「８８８」

＜ｂ＝５＞つまり　２段目が「５５５」のとき

　　　７ｂ＝７×５＝３５　で　１０でわったあまりは　５　だから　１７段目は「５５５」

＜ｂ＝６＞つまり　２段目が「６６６」のとき

　　　７ｂ＝７×６＝４２　で　１０でわったあまりは　２　だから　１７段目は「２２２」

＜ｂ＝７＞つまり　２段目が「７７７」のとき

　　　７ｂ＝７×７＝４９　で　１０でわったあまりは　９　だから　１７段目は「９９９」

＜ｂ＝８＞つまり　２段目が「８８８」のとき

　　　７ｂ＝７×８＝５６　で　１０でわったあまりは　６　だから　１７段目は「６６６」

＜ｂ＝９＞つまり　２段目が「９９９」のとき

　　　７ｂ＝７×９＝６３　で　１０でわったあまりは　３　だから　１７段目は「３３３」

●　回る６段の不思議　●

　それでは、かけ算の方はどうなるのでしょうか。

　　　　　・　数字を３つ並べたのは、たんなる「みばえ」にすぎないこと

　　　　　・　「１０でわったあまり」を考える

といったことは、同じです。

　　まずは、数をどんどんかけていって、１０でわったあまりを見てみます。

（　）の中が１０でわったあまりです。

・　ａ＝1 （1） ，ａ^２＝　1 （1） ，ａ^３＝　1　（1） ，ａ^４＝   1 （1） ，ａ^５＝     1 （1）　

・　ａ＝2 （2） ，ａ^２＝　4 （4） ，ａ^３＝　8　（8） ，ａ^４＝  16 （6） ，ａ^５＝   32 （2）　

・　ａ＝3 （3） ，ａ^２＝　9 （9） ，ａ^３＝ 27　（7） ，ａ^４＝  81 （1） ，ａ^５＝  243 （3）

・　ａ＝4 （4） ，ａ^２＝16 （6） ，ａ^３＝ 64　（4） ，ａ^４＝ 256 （6） ，ａ^５＝ 1024 （4）　　

・　ａ＝5 （5） ，ａ^２＝25 （5） ，ａ^３＝125　（5） ，ａ^４＝ 625 （5） ，ａ^５＝ 3125 （5）

・　ａ＝6 （6） ，ａ^２＝36 （6） ，ａ^３＝216　（6） ，ａ^４＝1296 （6） ，ａ^５＝ 7776 （6）

・　ａ＝7 （7） ，ａ^２＝49 （9） ，ａ^３＝343　（3） ，ａ^４＝2401 （1） ，ａ^５＝16807 （7）

・　ａ＝8 （8） ，ａ^２＝64 （4） ，ａ^３＝512　（2） ，ａ^４＝4096 （6） ，ａ^５＝32768 （8）

・　ａ＝9 （9） ，ａ^２＝81 （1） ，ａ^３＝729　（9） ，ａ^４＝6561 （1） ，ａ^５＝59049 （9）

　ここでわかることは、「ａを１０でわったあまり」　も　「ａ^５を１０でわったあまり」　も同じだということです。

このようなことは、大学の「群論」でお勉強します。

ですから、１０でわったあまりを問題にしている時は、ａ^５　を　ａ　でおきかえてしまいましょう。

もちろん、ｂ^５　は　ｂ　でおきかえます。

それでは、１段目の１の位を「ａ」、２段目の１の位を「ｂ」として計算してみましょう。

もちろん、１の位でなくって他の位でも同じことです。

矢印の右の方は、ａ^５　を　ａ　で、ｂ^５　を　ｂ　でおきかえたものです。

　　　　　１段目の１の位　　　　　ａ　　　　------＞　　　ａ　　　　　
　　　　　２段目の１の位　　　　　ｂ　　　　　------＞　　ｂ　　
　　　　　３段目の１の位　　　　ａｂ　　　　　------＞　　ａｂ
　　　　　４段目の１の位　　　　ａｂ^２　　　　------＞　　ａｂ^２　　
　　　　　５段目の１の位　　　　ａ^２ｂ^３　　　------＞　　ａ^２ｂ^３
　　　　　６段目の１の位　　　　ａ^３ｂ^５　　　------＞ａ^３ｂ
　　　　　７段目の１の位　　　　ａ^５ｂ^８　　　------＞　　ａｂ^４
　　　　　８段目の１の位　　　　ａ^８ｂ^１３　　------＞　　ａ^４ｂ
　　　　　９段目の１の位　　　　ａ^１３ｂ^２１　　------＞　　ａｂ
　　　　１０段目の１の位　　　　ａ^２１ｂ^３４　　------＞　　ａｂ^２　
　　　　１１段目の１の位　　　　ａ^３４ｂ^５５　　------＞　　ａ^２ｂ^３　
　　　　１２段目の１の位　　　　ａ^５５ｂ^８９　　------＞　　ａ^３ｂ
　　　　１３段目の１の位　　　　ａ^８９ｂ^１４４　　------＞　ａｂ^４
　　　　１４段目の１の位　　　　ａ^１４４ｂ^２３３　------＞　ａ^４ｂ

　それにしても、「ａを１０でわったあまり」　も　「ａ^５を１０でわったあまり」　も同じだなんて、

中学生は知らないですよね〜！

HOME（もどる）

掲載内容の無断転載、転用、編集を禁じます。(c) 小林吹代
All Rights Reserved, （c）kobayashi fukiyo , 2004